Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

#1

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί

οι οποίοι έχουν διαιρέτες (μόνο) τους $1,\,2$ και

.

Ομοίως αλλά τώρα με διαιρέτες (μόνο) τους $1,\,3$ και

Orestisss · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 29, 2024 10:26 pm
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι έχουν διαιρέτες (μόνο) τους $1,\,2$ και .

Ομοίως αλλά τώρα με διαιρέτες (μόνο) τους $1,\,3$ και

α)Επειδή ο

έχει διαιρέτη το

, θα είναι άρτιος. Και επειδή το

είναι ο μόνος διαρέτης του, έπεται ότι N=2

.
β)Με ανάλογο τρόπο θα πρεπει επίσης N=3

.

#3

Για ξαναδές τα γιατί και οι δύο απαντήσεις είναι λάθος.

Orestisss · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 12:01 am
Για ξαναδές τα γιατί και οι δύο απαντήσεις είναι λάθος.

Συγγνώμη για την προβηματική μου λύση. Για κοιτάξτε αυτό.
a) N=4

b)

#5

Orestisss έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 12:20 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 12:01 am
Για ξαναδές τα γιατί και οι δύο απαντήσεις είναι λάθος.
Συγγνώμη για την προβηματική μου λύση. Για κοιτάξτε αυτό.
a)
b)

Οι αριθμοί αυτοί έχουν την ιδιότητα. Το ερώτημα όμως είναι να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλοι.

Θεωρώ ότι η άσκηση είναι ακόμα ανοικτή, παρόλο που είναι πολλή απλή.

abgd · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 29, 2024 10:26 pm
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι έχουν διαιρέτες (μόνο) τους $1,\,2$ και .

Ομοίως αλλά τώρα με διαιρέτες (μόνο) τους $1,\,3$ και

Οι φυσικοί αριθμοί

με διαιρέτη το

θα είναι της μορφής n=2k

με $k=1, \, 2, \, 3,...$ . και, προφανώς, k<n

Ο φυσικός αριθμός

θα είναι διαιρέτης του

, άρα θα πρέπει, εφόσον θέλουμε οι μοναδικοί διαιρέτες του

εκτός του εαυτού του να είναι $1, \, 2, Ν$ ,
να είναι k=1

ή

. Έτσι θα πρέπει N=2

ή

Ομοίως οι μοναδικοί φυσικοί αριθμοί με διαιρέτες (μόνο) τους $1,\,3$ και

θα είναι οι $3, \, 9$

Nikitas K. · #7

Έστω $\displaystyle N\in\left\{x\in\mathbb{Z}^{+}| 1\mid x, ~x \mid x, ~\exists y\in\mathbb{Z}^{+} y\mid x \wedge ~ \forall z\in\mathbb{Z}^{+} - \left\{1,y,x\right\} z \nmid x\right\}$
Ισχύει $\displaystyle\exists! p \in \mathbb{Z}^{+}-\left\{1,N\right\} p\mid N\Rightarrow N$ είναι σύνθετος άρα $\displaystyle \exists n\in\mathbb{Z}^{+}-\left\{1\right\}\exists p_1,p_2,\dots,p_n\in\mathbb{P} ~ N = \prod_{i=1}^{n} p_i$
Έστω ότι $\displaystyle \exists i\in\left\{1,2,\dots,n\right\}~p_i \neq p$ τότε $p_i \mid N$ άτοπο. Επομένως $\displaystyle N = p^n \wedge ~ p\in\mathbb{P}$
Αν $n\geq 3$ τότε $p^2 \mid N$ άτοπο. Άρα N = p^2

που ισχύει.
Συνεπώς $N\in\left\{x^2 \in \mathbb{Z}^{+}|x\in\mathbb{P}\right\}$

$\displaystyle \left\{x\in\mathbb{Z}^{+}| 1\mid x, ~x \mid x, ~\exists y\in\mathbb{Z}^{+} y\mid x \wedge ~ \forall z\in\mathbb{Z}^{+} - \left\{1,y,x\right\} z \nmid x\right\} = \left\{x^2 \in \mathbb{Z}^{+}|x\in\mathbb{P}\right\}$

#8

Νικήτα, δεν έχω δει σε όλη μου την καριέρα πιο στριφνή απόδειξη για κάτι τόσο απλό. Δεν θα έλεγα τίποτα αλλά και το συμπέρασμα που γράφεις είναι εσφαλμένο. Το σωστό συμπέρασμα το έχει ο Κώστας (abdg) στο ποστ #

, χρησιμοποιώντας απλή και στρωτή γλώσσα, όπως αρμόζει σε μία απλή άσκηση που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου.

Θα επαναλάβω άλλη μία φορά κάτι που σου έγραψα πρόσφατα:
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 25, 2024 10:30 am

Στα Μαθηματικά χρησιμοποιούμε τα σύμβολα όταν βοηθούν και διευκολύνουν τον συλλογισμό. Το να χρησιμοποιούμε τα σύμβολα στην ανάποδη κατεύθυνση, δηλαδή να συσκοτίσουμε τον συλλογισμό μπερδεύοντας τον αναγνώστη σε νοητικές ακροβασίες είναι πρακτική προς αποφυγήν. Θυμίζει τους Αλχημιστές του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης που προσποιούνταν συστηματικά ότι έγραφαν σπουδαία πράγματα τα οποία ήσαν κατανοητά μόνο στους μεμυημένους, όταν στην πραγματικότητα έγραφαν ταυτολογίες ή ανυπαρκτολογίες.

Αν διδάσκεις τους μαθητές σου με αυτό το ύφος, θα τους χάσεις όλους. Σου συνιστώ, λοιπόν, όταν γράφεις για απλά πράγματα, το στυλ γραφής πρέπει να είναι αναλόγως απλό. Να μην φαίνεται περισπούδαστο και βαθύ όταν δεν είναι.

Nikitas K. · #9

Προσθέτω αυτό που παρέλειψα στο ποστ #7
Αν $N\in \left\{x^2 \in \mathbb{Z}^{+}|x\in\mathbb{P}\right\}$
$\Rightarrow 1 \mid N, \sqrt{N} \mid N,~ N\mid N\wedge \sqrt{N}\in \mathbb{P} \Rightarrow \forall x\in\mathbb{Z}^{+} - \left\{1,\sqrt{N},N\right\} x \nmid \sqrt{N}\Rightarrow x \nmid \sqrt{N}^2 = N$
$\Rightarrow N \in \left\{x\in\mathbb{Z}^{+}| 1\mid x, ~x \mid x, ~\exists y\in\mathbb{Z}^{+} y\mid x \wedge ~ \forall z\in\mathbb{Z}^{+} - \left\{1,y,x\right\} z \nmid x\right\}$

#10

Nikitas K. έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 9:05 pm
Αν $N\in \left\{x^2 \in \mathbb{Z}^{+}|x\in\mathbb{P}\right\}$
$\Rightarrow \sqrt{N}\in \mathbb{P},~1 \mid N, \sqrt{N} \mid N,~ N\mid N\wedge \forall x\in\mathbb{Z}^{+} - \left\{1,\sqrt{N},N\right\} x \nmid \sqrt{N}\Rightarrow x \nmid \sqrt{N}^2 = N$
$\Rightarrow N \in \left\{x\in\mathbb{Z}^{+}| 1\mid x, ~x \mid x, ~\exists y\in\mathbb{Z}^{+} y\mid x \wedge ~ \forall z\in\mathbb{Z}^{+} - \left\{1,y,x\right\} z \nmid x\right\}$

Δεν σώζεται η κατάσταση. Το ύφος παραμένει στριφνό για τόσο απλή άσκηση αλλά, κυρίως, δεν θα παρατήρησες ότι σημείωσα ότι το αποτέλεσμα που γράφεις είναι λάθος. Το σωστό αποτέλεσμα είναι ήδη γραμμένο στο ποστ #

.

Nikitas K. · #11

Με συγχωρείτε για το στρυφνό ύφος μου. Πλανώμουν πλάνην οικτρά... Έχετε μεν στενάχωρο, καυστικό και εκνευριστικό αλλά δίκιο. Ήταν απλή άσκηση. Σκέφτηκα την παραπάνω λύση ποστ #6 αλλά μετά για κάποιον λόγο νόμιζα ότι δεν ήταν σωστή... Ξέχασα πως την αιτιολόγησα την ίδια στιγμή που την σκέφτηκα. Μετά ήθελα να προσθέσω έστω και περίπλοκη «λύση» διότι είχα ετοιμάσει μια διαφορετική...

Εργαζόμουν στο παρακάτω σύνολο που ούτε αυτό καλύβει την περίπτωση N=2,3

γιατί είχα τον ορισμό τον πρώτων αριθμών θολά διατυπωμένο στο μυαλό μου εις βάρος της αυστηρότητας (μεγαλύτερο του

ή μικρότερο του

) και με βάση τον λάθος ορισμό νόμιζα ότι λόγω του συνδέσμου «και» έπρεπε να απορρίψω τις τιμές N = 2,3

Τουλάχιστον για να κάνω τα παρακάτω σύνολα ίσα (και όχι τα ζητούμενα της εκφώνησης) έδιωξα μερικά στοιχεία από τους ακεραίους του

ενώ στο άλλο σύνολο τα

είναι θετικοί πρώτοι.

$\left\{x\in\mathbb{Z}^{+}| 1\mid x, ~x \mid x, ~\exists y\in\mathbb{Z}^{+}-\left\{1,x\right\} y\mid x \wedge ~ \forall z\in\mathbb{Z}^{+} - \left\{1,y,x\right\} z \nmid x\right\} = \left\{x^2\in\mathbb{Z}^{+}| x\in \mathbb{P}^{+}\right\}$

Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Re: Παραλίγο πρώτοι αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση