Τριεθνές

KARKAR · #1

: Τριεθνές.png (15.01 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές

$\bigstar$ Στο ορθογώνιο ABCD

, τα σημεία M , N

είναι τα μέσα των πλευρών BC , CD

, αντίστοιχα . Αν τα

BN , DM

, τέμνονται πάνω στον κύκλο διαμέτρου

, υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ και την γωνία $\widehat{ANM}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 27, 2024 7:25 pm
Τριεθνές.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο , τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών , αντίστοιχα . Αν τα , τέμνονται πάνω στον κύκλο διαμέτρου , υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ και την γωνία $\widehat{ANM}$ .

: Τριεθνές.png (51.94 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Από το τρίγωνο $\vartriangle BCD$ με M,N

τα μέσα των πλευρών CB,CD

προκύπτει ότι $MN\parallel BD$ και συνεπώς η ευθεία που συνδέει τα μέσα των βάσεων του BD,MN

$O\equiv AC\cap BD$ και

αντίστοιχα διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του

και από το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του

(γνωστή πρόταση εύκολα αποδείξιμη) . Έτσι τα σημεία C,S,A

είναι συνευθειακά οπότε (λόγω του ημικυκλίου $\angle CSB={{90}^{0}}\overset{MB=MC}{\mathop{\Rightarrow }}\,SM=MB=MC=\dfrac{b}{2}\Rightarrow$ $\angle BSM=\angle MBS\overset{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma }{\mathop{=}}\,\angle SAB\Rightarrow DM$ εφαπτόμενη στο ημικύκλιο και συνεπώς θα είναι και DS=DA=b

(εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο από σημείο εκτός του).

Αν λοιπόν $MOL\bot AD\overset{\Pi .\Theta }{\mathop{\Rightarrow }}\,D{{M}^{2}}=D{{L}^{2}}+M{{L}^{2}}\Rightarrow$ ${{\left( \dfrac{3b}{2} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{b}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}\Rightarrow \ldots \dfrac{a}{b}=\sqrt{2}$
Λόγω της συμμετρίας του σχήματος ως προς την $NO\overset{MB\bot AC}{\mathop{\Rightarrow }}\,AN\bot BD\overset{MN\parallel BD}{\mathop{\Rightarrow }}\,MN\bot AN\Rightarrow \angle ANM={{90}^{0}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 27, 2024 7:25 pm
Τριεθνές.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο , τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών , αντίστοιχα . Αν τα

, τέμνονται πάνω στον κύκλο διαμέτρου , υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ και την γωνία $\widehat{ANM}$ .

Στο $\vartriangle DBC$ το

είναι το σημείο τομής των διαμέσων του $BN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DM$ δηλαδή βαρύκεντρο και άρα

Απ’ αυτό θα διέρχεται η διαγώνιος

Είναι : $AS \bot SB$ κι έτσι στο ορθογώνιο , $\vartriangle SBC$ η

είναι διάμεσος άρα , $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ .

Αλλά $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες) , οπότε: $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ δηλαδή η

εφάπτεται του ημικυκλίου .

Φέρνω τώρα τη διαγώνιο

και τέμνει την

στο μέσο της

και το ημικύκλιο ακόμα στο

.

: τριεθνές.png (32.14 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

Το τετράπλευρο AESB

είναι αρμονικό και η τετράδα $\displaystyle \left( {B,E\backslash F,D} \right)\,\,$ είναι αρμονική και ισχύει : $\boxed{\frac{{EF}}{{ED}} = \frac{{BF}}{{BD}} = \frac{1}{2}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Αν λοιπόν θέσω , EF = k

θα είναι $DE = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FB = 3k$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD

με ύψος

ισχύει: $\boxed{\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{D^2}}}}$

δηλαδή : $\boxed{\frac{a}{b} = \frac{{AB}}{{AD}} = \sqrt {\frac{{4k}}{{2k}}} = \sqrt 2 }$ .

Επειδή η

διέρχεται από το μέσο

του

, λόγω συμμετρίας και η

θα διέρχεται από το

Έτσι ,

και αφού η $AE \bot DB$ θα είναι , $\overline {AEN} \bot NM.$

Τριεθνές

Τριεθνές

Re: Τριεθνές

Re: Τριεθνές

Μέλη σε σύνδεση