Έξι αθροίσματα

[Mihalis_Lambrou]

Έχουμε διαφορετικούς αριθμούς. Τους προσθέτουμε ανά δύο με όλους τους δυνατούς τρόπους (που είναι έξι τον αριθμό).
Δείξτε ότι τα διαφορετικά αθροίσματα που μπορούμε να πάρουμε είναι είτε είτε τον αριθμό. Πάντως αποκλείεται να έχουμε ή λιγότερα διαφορετικά αθροίσματα.

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους.

Θα επιχειρήσω μιαν απάντηση:

Έστω οι διαφορετικοί αριθμοί. Δίνουν τα αθροίσματα: .

Αποκλείουμε, προφανώς, την περίπτωση αθροίσματα με κοινό τον ένα όρο να είναι ίσα, αφού θα ήταν ίσοι και οι άλλοι όροι, που έχει αποκλειστεί.

Μένουν οι περιπτώσεις:

Έστω ότι είναι ανά δύο αληθείς.

Αφαιρώντας έχουμε αδύνατο.

Ομοίως, αφαιρώντας έχουμε αδύνατο και που δίνει αδύνατο, άρα σε κάθε ζεύγος υπάρχει μια ψευδής, δηλαδή τουλάχιστον οι δύο από τις τρεις είναι ψευδείς.

Έχουμε, λοιπόν, τουλάχιστον διαφορετικά αθροίσματα.

[Γιώργος Ρίζος]

Ας δώσω και μια δεύτερη προσέγγιση, με ένα τέχνασμα:

Παίρνω τους τέσσερις αριθμούς και τους βάζω σε αύξουσα σειρά στον άξονα των αριθμών.

Τους μετακινώ ισόποσα, ώστε ο μικρότερος να βρεθεί στο .

Έστω οι νέοι μου αριθμοί.

Δίνουν αθροίσματα .

Αποκλείω τις ισότητες μεταξύ τους εκτός της , αφού .

Αφού έχουμε, λοιπόν, ή διαφορετικά αθροίσματα, το ίδιο θα συμβαίνει αν τους επαναφέρουμε στην αρχική τους θέση.

[Mihalis_Lambrou]

Έχουμε διαφορετικούς αριθμούς. Τους προσθέτουμε ανά δύο με όλους τους δυνατούς τρόπους (που είναι έξι τον αριθμό).
Δείξτε ότι τα διαφορετικά αθροίσματα που μπορούμε να πάρουμε είναι είτε είτε τον αριθμό. Πάντως αποκλείεται να έχουμε ή λιγότερα διαφορετικά αθροίσματα.

Γράφω ουσιαστικά την λύση του Γιώργου αλλά με μία μικρή διαφορά που θα είναι πιο χρήσιμη σε μία παραλλαγή της άσκησης, που θα αναρτήσω αργά ή γρήγορα.

Έστω ότι οι (διαφορετικοί) αριθμοί είναι οι . Παρατηρούμε την εξής διάταξη πέντε αθροισμάτων:

.

Αμέσως-αμέσως αυτό μας δείχνει ότι υπάρχουν ή περισσότερα διαφορετικά αθροίσματα. Κοιτάμε τώρα τα εξής νέα αθροίσματα, που είναι τα ίδια με πριν εκτός από τον μεσαίο (κόκκινο) όρο:

.

Και αυτή η διάταξη μας δείχνει ότι υπάρχουν ή περισσότερα διαφορετικά αθροίσματα. Ακόμη καλύτερα, μας λέει ότι τα διαφορετικά αθροίσματα είναι ακριβώς αν και μόνον αν . Αλλιώς είναι .

Παράδειγμα με ακριβώς διαφορετικά αθροίσματα είναι το (εδώ είναι η περίπτωση ). Και παράδειγμα με διαφορετικά αθροίσματα είναι το .

[ksofsa]

Λίγο διαφορετικά:

Δύο αθροίσματα ( και ) ταυτίζονται, αν και μόνο αν ταυτίζονται τα κέντρα των αντίστοιχων διαστημάτων (, δηλαδή αν και μόνο αν το ένα διάστημα είναι συστολή του άλλου. Δηλαδή αναγκαία συνθήκη το ένα διάστημα να περιέχεται γνήσια στο άλλο και να μην έχουν κοινό άκρο. Η μόνη τέτοια περίπτωση είναι το ότι το περιέχεται στο (αν ). Άρα, το πολύ 1 ζεύγος αθροισμάτων είναι ίσα.