Επαφές , ισότητα και εφαπτομένη

KARKAR · #1

Στη διάμετρο

ενός ημικυκλίου κινείται σημείο

. Σχεδιάζω το ημικύκλιο διαμέτρου

προς το οποίο φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

. Η προέκταση της

τέμνει την στο

εφαπτομένη του τόξου , στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι : BT=BP

... β) Υπολογίστε το

, ώστε να είναι : $\tan\theta = \dfrac{2}{3}$

#2

Kαλησπέρα σε όλους από την γιορτινή Κέρκυρα. Χρόνια πολλά στους Σπύρους και τις Σπυριδούλες.

: 12-12-2023 Γεωμετρία.png (49.2 KiB) Προβλήθηκε 911 φορές

Έστω

το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και $\displaystyle \widehat A = \theta$ . Τότε $\displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm T}{\rm P}} = 90^\circ - \theta$ και στο ορθογώνιο ABP

, $\displaystyle \widehat P = 90^\circ - \theta$ , άρα BT=BP

.

Η κάθετη από το

στην

την τέμνει στο σημείο

του μεγάλου ημικυκλίου, αφού $\displaystyle \widehat {{\rm A}{\rm M}{\rm B}} = 90^\circ$ , ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο.

$\displaystyle \tan \theta = \frac{2}{3} \Rightarrow \cos \theta = \frac{3}{{\sqrt {13} }},\;\;\sin \theta = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$

$\displaystyle \widehat {{\rm K}{\rm B}{\rm T}} = 90^\circ - 2\theta \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {{\rm K}{\rm B}{\rm T}} \right) = \eta \mu 2\theta = \frac{{12}}{{13}},\;\;\varepsilon \varphi \left( {{\rm K}{\rm B}{\rm T}} \right) = \frac{5}{{12}}$

οπότε $\displaystyle \frac{{{\rm K}{\rm T}}}{{{\rm B}{\rm T}}} = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}S}}{{BT}} = \frac{{10}}{{12}}$

Είναι $\displaystyle B{T^2} = BA \cdot BS = BA\left( {BA - AS} \right) = B{A^2} - BA \cdot AS$ ,

οπότε $\displaystyle \frac{{36}}{{25}}A{S^2} = B{A^2} - BA \cdot AS \Leftrightarrow 36A{S^2} + 25BA \cdot AS - 25B{A^2} = 0$ , από όπου $AS = \frac{5}{9}AB$ .

ΣΧΟΛΙΟ: Δεν ξέρω αν ο Θανάσης το έβαλε επίτηδες, αλλά εύκολα σε ξεγελά το σχήμα, αφού το

"φαίνεται" να είναι ίσο με το

για τη συγκεκριμένη γωνία, αλλά ΔΕΝ είναι...

KARKAR · #3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 12, 2023 4:27 pm
ΣΧΟΛΙΟ: Δεν ξέρω αν ο Θανάσης το έβαλε επίτηδες, αλλά εύκολα σε ξεγελά το σχήμα, αφού το

"φαίνεται" να είναι ίσο με το για τη συγκεκριμένη γωνία, αλλά ΔΕΝ είναι...

: περίπου ίσα.png (18.97 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Η ισότητα : BP=BT

συνεπάγεται την : MT=MP

και φέροντας $TK \perp BT$ βρίσκουμε

το κέντρο του μικρού ημικυκλίου .

Με Π.Θ . στο MAB

, βρίσκουμε : $x=\dfrac{2d}{\sqrt{13}}$ συνεπώς : $\dfrac{MB}{AS}=\dfrac{18}{5\sqrt{13}}\simeq 0.998$ .

( Γιώργο , δεν το είχα παρατηρήσει ! )

Επαφές , ισότητα και εφαπτομένη

Επαφές , ισότητα και εφαπτομένη

Re: Επαφές , ισότητα και εφαπτομένη

Re: Επαφές , ισότητα και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση