Διαγωνισμός διαγωνίων

KARKAR · #1

: Διαγωνισμός διαγωνίων.png (8.42 KiB) Προβλήθηκε 2019 φορές

Στο τραπέζιο του σχήματος , υπολογίστε τη διαγώνιο

, όταν η

καταστεί

η ελάχιστη δυνατή . ( Τα μεγάλα έγχρωμα νούμερα είναι τα αντίστοιχα εμβαδά ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 28, 2023 8:35 pm
Διαγωνισμός διαγωνίων.pngΣτο τραπέζιο του σχήματος , υπολογίστε τη διαγώνιο , όταν η καταστεί

η ελάχιστη δυνατή . ( Τα μεγάλα έγχρωμα νούμερα είναι τα αντίστοιχα εμβαδά ) .

Αν

τότε από τα δοθέντα εμβαδά των τριγώνων έχουμε $AD = \dfrac {24}{x}, \, BC = \dfrac {20}{x}$ . Άρα

$BD^2 = AB^2+AD^2 = x^2 + \dfrac {24^2}{x^2} = \left ( x- \dfrac {24}{x} \right ) ^2 + 48 \ge 48$ με ισότητα όταν x^2=24

. Αλλά τότε η ζητούμενη

$AC = \sqrt { AB^2+ BC^2} = \sqrt { x^2 + \dfrac {20^2}{x^2} } = \sqrt { 24 + \dfrac {20^2}{24} }= \sqrt { \dfrac {122}{3} }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 28, 2023 8:35 pm
Διαγωνισμός διαγωνίων.pngΣτο τραπέζιο του σχήματος , υπολογίστε τη διαγώνιο , όταν η καταστεί

η ελάχιστη δυνατή . ( Τα μεγάλα έγχρωμα νούμερα είναι τα αντίστοιχα εμβαδά ) .

Προφανώς,

Αφού λοιπόν το εμβαδόν είναι σταθερό, το άθροισμα $\displaystyle A{B^2} + A{D^2} = B{D^2}$

ελαχιστοποιείται όταν $\displaystyle AB = AD = 2\sqrt 6 .$ Τα υπόλοιπα όπως ο Μιχάλης.

Διαγωνισμός διαγωνίων

Διαγωνισμός διαγωνίων

Re: Διαγωνισμός διαγωνίων

Re: Διαγωνισμός διαγωνίων

Μέλη σε σύνδεση