Ζεύγη ακεραίων

KARKAR · #1

: Ζεύγη ακεραίων.png (11.39 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

$\bigstar$ Με κέντρο την κορυφή

του - πλευράς

- τετραγώνου ABCD

, γράφουμε τον κύκλο (C , r)

.

Στην προέκταση της

, θεωρούμε σημείο

, με

και φέρουμε εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

α) Υπολογίστε το τμήμα DT=y

, συναρτήσει των x , r

.

β) Αν r=2

, βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y)

που απαρτίζονται από ακεραίους .

#2

(α) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: $\displaystyle{(y+r)^2 +(x+r)^2 = (x+y)^2 }$ και με πράξεις προκύπτει:

$\displaystyle{y=\frac{r(x+r)}{x-r}}$

(β) Με $\displaystyle{r=2}$ παίρνουμε: $\displaystyle{y=\frac{2(x+2)}{x-2} =\frac{2x+4}{x-2}=\frac{2x-4+8}{x-2}=\frac{2(x-2) +8}{x-2}=2+\frac{8}{x-2}}$ , (1)

Για να είναι ακέραιοι οι αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ πρέπει $\displaystyle{x-2 \in\{-1 , 1 , -2 , 2 , -4 , 4 , -8 . 8\}}$ , όπου πρέπει $\displaystyle{x>r}$ , δηλαδή $\displaystyle{x>2}$

Από την σχέση (1) βρίσκουμε ότι τα ζεύγη που ζητάμε είναι:

$\displaystyle{(x,y) \in\{(3,10), (4,6) , (6,4) , (10,3)\}}$

Δεν γνώριζα ότι το αστεράκι στην εκφώνηση, σημαίνει ότι το αφήνουμε για 24 ώρες για τους μαθητές. Όταν είδα την ειδοποίηση του Θανάση, είχαν ήδη περάσει πολλές ώρες, οπότε δεν έχει νόημα η διαγραφή που είχα κάνει και το αφήνω και πάλι.

Ζεύγη ακεραίων

Ζεύγη ακεραίων

Re: Ζεύγη ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση