Κύβος

#1

Επτά διαφορετικοί ανά δύο θετικοί ακέραιοι έχουν γινόμενο τέλειο κύβο ακεραίου.
Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του μεγαλύτερου από αυτούς;

#2

socrates έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 27, 2022 12:39 am
Επτά διαφορετικοί ανά δύο θετικοί ακέραιοι έχουν γινόμενο τέλειο κύβο ακεραίου.
Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του μεγαλύτερου από αυτούς;

Απάντηση:

, και μία επτάδα που έχει τις ζητούμενες ιδιότητες είναι η $\{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12\}$ , με γινόμενο $(2^3\cdot 3)^3$ .

Για την απόδειξη αρκεί να δείξουμε ότι κάθε επτάδα με γινόμενο τέλειο κύβο έχει όρο $\ge 12$ . Πράγματι, αν η επτάδα περιέχει αριθμό με παράγοντα το

τότε το γινόμενο (που είναι τέλειος κύβος) έχει παράγοντα τον 5^3

. Άρα, εκτός από το

σίγουρα υπάρχει όρος $\ge 2\cdot 5$ και (άλλος ή ο ίδιος) όρος $\ge 3\cdot 5=15$ (και αυτό διότι πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον τρία 5-ρια). Αλλά τότε υπάρχει όρος $\ge 12$ . Όμοια αν στην επτάδα υπάρχει όρος με παράγοντα το

ή το

.

Με άλλα λόγια, αν θέλουμε επτάδα με μέγιστο όρο $\le 12$ , πρέπει να την αναζητήσουμε από επιλογή όρων της ακολουθίας $\{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,9,\, 12,\, ... \}\,\, (*)$ . Εδώ οι πρώτοι επτά όροι, δηλαδή οι $\{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,9 \}$ , δεν έχουν γινόμενο τέλειο κύβο (το γινόμενό τους είναι $2^7\cdot 3^4$ ). Άρα στην επτάδα μας από την (*)

πρέπει να διώξουμε κάποιον όρο από τους επτά όρους $\{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,9 \}$ και στην θέση του να βάλουμε κάποιον μεγαλύτερο του

, που εδώ είναι ο

. Τελειώσαμε.

Κύβος

Κύβος

Re: Κύβος

Μέλη σε σύνδεση