Τουρνουά σκακιού

#1

Σε ένα τουρνουά σκακιού συμμετείχαν n>5

σκακιστές. Κάθε σκακιστής έπαιξε με κάθε άλλον ακριβώς μια φορά. Πέντε από τους σκακιστές έχασαν ο καθένας ακριβώς 2 παιχνίδια. Όλοι οι υπόλοιποι σκακιστές κέρδισαν ακριβώς 3 παιχνίδια ο καθένας. Αν στο τουρνουά δεν υπήρξαν ισοπαλίες, να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του

abfx · #2

Υποθέτουμε ότι ο κάθε σκακιστής παίρνει

βαθμό για κάθε νίκη που σημειώνει, ενώ δεν παίρνει κανέναν όταν χάνει.

Επειδή έχουμε πάντα νίκες (και όχι ισοπαλίες), το άθροισμα όλων των βαθμών που συγκέντρωσαν όλοι οι σκακιστές μαζί θα είναι

όσο και το πλήθος των παιχνιδιών που έλαβαν χώρα, το οποίο είναι: $\displaystyle S=(n-1)+(n-2)+\dots +2+1=\frac{n(n-1)}{2}$ .

Όμως έχουμε και $S=5\cdot(n-3)+(n-5)\cdot 3$ , αφού υπήρχαν

σκακιστές που συγκέντρωσαν n-3

βαθμούς (

νίκες),

και οι υπόλοιποι ( n-5

) συγκέντρωσαν

βαθμούς από ίσες νίκες. Εξισώνοντας:

$S=S\iff\dots\iff n^2-17n+60=0$ , που δίνει τιμές n=5 , n=12

,με δεκτή μόνο την τελευταία.

Για να ολοκληρώσουμε τη λύση μας, ελέγχουμε ότι υπάρχει τέτοιο τουρνουά με

σκακιστές.

Πράγματι, χωρίζουμε τους σκακιστές στους

"καλούς' και

"κακούς".

Στο γκρουπ των "καλών" ο καθένας νικάει ακριβώς

και χάνει ακριβώς

παιχνίδια, ενώ

στο γκρουπ των "κακών" ο καθένας νικάει ακριβώς

και χάνει ακριβώς

παιχνίδια.

Τέλος κάθε "καλός" νικάει κάθε "κακό" και έτσι η κατασκευή μας ολοκληρώθηκε.

#3

https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p20841763

Τουρνουά σκακιού

Τουρνουά σκακιού

Re: Τουρνουά σκακιού

Re: Τουρνουά σκακιού

Μέλη σε σύνδεση