Ο τρίτος ο μεγαλύτερος
Ο τρίτος ο μεγαλύτερος
Για τους πραγματικούς αριθμούς , είναι γνωστό ότι : και :
. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή , του μεγαλύτερου από τους τρεις ;
. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή , του μεγαλύτερου από τους τρεις ;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ο τρίτος ο μεγαλύτερος
Ας υποθέσουμε ότι .
Από τη γνωστή ταυτότητα , λαμβάνουμε τελικά .
Με εφαρμογή τύπων Vieta έχουμε ότι τα (και μόνο αυτά) είναι οι ρίζες του πολυωνύμου:
, όπου .
Με δεδομένο ότι ,γράφουμε:
.
Όμως το πολυώνυμο έχει πραγματικές ρίζες επομένως:
.
Επομένως .
Παρατηρούμε ότι το πιάνεται για οπότε η ζητούμενη μέγιστη τιμή είναι το .
Από τη γνωστή ταυτότητα , λαμβάνουμε τελικά .
Με εφαρμογή τύπων Vieta έχουμε ότι τα (και μόνο αυτά) είναι οι ρίζες του πολυωνύμου:
, όπου .
Με δεδομένο ότι ,γράφουμε:
.
Όμως το πολυώνυμο έχει πραγματικές ρίζες επομένως:
.
Επομένως .
Παρατηρούμε ότι το πιάνεται για οπότε η ζητούμενη μέγιστη τιμή είναι το .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ο τρίτος ο μεγαλύτερος
Πιο απλά: Χωρίς βλάβη .
Oι εξισώσεις γίνονται και . Λύνοντας το σύστημα θε βρούμε (άμεσο)
.
Σίγουρα το δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από αυτήν που επιτρέπει την παραπάνω τετραγωνική ρίζα να είναι θετικός. Δηλαδή το είναι εντός των ριζών του . Άρα . H ακραία τιμή, δηλαδή δίνει .
Επειδή ικανοποιούνται οι αρχικές και οι περιορισμοί, οι τιμές αυτές είναι δεκτές.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ο τρίτος ο μεγαλύτερος
Καλημέρα σε όλους. Κάτι παρόμοιο με τις προηγούμενες λύσεις:
Aπό τη 2η είναι .
Αντικαθιστούμε στην 1η: ,
που γίνεται
Για να έχει πραγματικές ρίζες πρέπει και αρκεί
Η ανισότητα αυτή οδηγεί στην συνθήκη
Για τη μέγιστη τιμή του είναι μικρότερο του μεγίστου του και επίσης , μικρότερο του μεγίστου του .
Τα εναλλάσονται κυκλικά, οπότε η τιμή είναι η μέγιστη δυνατή που μπορεί να λάβει κάποιος από τους τρεις αριθμούς.
Aπό τη 2η είναι .
Αντικαθιστούμε στην 1η: ,
που γίνεται
Για να έχει πραγματικές ρίζες πρέπει και αρκεί
Η ανισότητα αυτή οδηγεί στην συνθήκη
Για τη μέγιστη τιμή του είναι μικρότερο του μεγίστου του και επίσης , μικρότερο του μεγίστου του .
Τα εναλλάσονται κυκλικά, οπότε η τιμή είναι η μέγιστη δυνατή που μπορεί να λάβει κάποιος από τους τρεις αριθμούς.
Re: Ο τρίτος ο μεγαλύτερος
Μία ακόμη :
Είναι : και : . Αλλά : ,
με την ισότητα να ισχύει για , οπότε : ,
ισοδύναμα : , η οποία δίνει τις παραπάνω λύσεις .
Είναι : και : . Αλλά : ,
με την ισότητα να ισχύει για , οπότε : ,
ισοδύναμα : , η οποία δίνει τις παραπάνω λύσεις .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες