Ο τρίτος ο μεγαλύτερος

KARKAR · #1

Για τους πραγματικούς αριθμούς a , b , c

, είναι γνωστό ότι : a^2+b^2+c^2=3

και :

. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή , του μεγαλύτερου από τους τρεις ;

abfx · #2

Ας υποθέσουμε ότι $a\geq b\geq c$ .
Από τη γνωστή ταυτότητα (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

, λαμβάνουμε τελικά $ab+bc+ca=\frac{1}{2}$ .
Με εφαρμογή τύπων Vieta έχουμε ότι τα a,b,c

(και μόνο αυτά) είναι οι ρίζες του πολυωνύμου:
$p(x)=x^{3}-2x^{2}+\frac{1}{2}x-r$ , όπου r=abc

.
Με δεδομένο ότι $p(a)=0 \iff a^{3}-2a^{2}+\frac{1}{2}a=r$ ,γράφουμε:
$p(x)=(x-a)(x^{2}+(a-2)x+a^{2}-2a+\frac{1}{2})$ .
Όμως το πολυώνυμο $x^{2}+(a-2)x+a^{2}-2a+\frac{1}{2}$ έχει πραγματικές ρίζες επομένως:
$\Delta\geq 0 \iff (a-2)^{2}-4(a^{2}-2a+\frac{1}{2})\geq 0 \iff -3a^{2}+4a+2\geq 0 \iff$
$\iff (a-\frac{2+\sqrt{10}}{3})(a-\frac{2-\sqrt{10}}{3})\leq 0$ .
Επομένως $a\leq \frac{2+\sqrt{10}}{3}$ .
Παρατηρούμε ότι το

πιάνεται για $(a,b,c)=(\frac{2+\sqrt{10}}{3},\frac{4-\sqrt{10}}{6},\frac{4-\sqrt{10}}{6})$ οπότε η ζητούμενη μέγιστη τιμή είναι το $\frac{2+\sqrt{10}}{3}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 12, 2022 8:42 pm
Για τους πραγματικούς αριθμούς , είναι γνωστό ότι : και :

. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή , του μεγαλύτερου από τους τρεις ;

Πιο απλά: Χωρίς βλάβη $a\le b \le c$ .

Oι εξισώσεις γίνονται a^2+b^2=3-c^2

και

. Λύνοντας το σύστημα θε βρούμε (άμεσο)

$a= 1-\dfrac {c}{2} - \sqrt {-3c^2+4c+2} , \, b= 1-\dfrac {c}{2} +\sqrt {-3c^2+4c+2}$ .

Σίγουρα το

δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από αυτήν που επιτρέπει την παραπάνω τετραγωνική ρίζα να είναι θετικός. Δηλαδή το

είναι εντός των ριζών $\dfrac {1}{3}(2\pm \sqrt {10} )$ του -3c^2+4c+2

. Άρα $c\le \dfrac {1}{3}(2\pm \sqrt {10})$ . H ακραία τιμή, δηλαδή $c= \dfrac {1}{3}(2+ \sqrt {10})$ δίνει $a=b=\dfrac {1}{6}(4-\sqrt {10})$ .

Επειδή ικανοποιούνται οι αρχικές και οι περιορισμοί, οι τιμές αυτές είναι δεκτές.

#4

Καλημέρα σε όλους. Κάτι παρόμοιο με τις προηγούμενες λύσεις:

Aπό τη 2η είναι $\displaystyle c=2-\left( a+b \right)$ .

Αντικαθιστούμε στην 1η: $\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left[ 2-\left( a+b \right) \right]}^{2}}=3$ ,

που γίνεται $\displaystyle 2{{b}^{2}}+2\left( a-2 \right)b+2{{a}^{2}}-4a+1=0$

Για να έχει πραγματικές ρίζες πρέπει και αρκεί $\displaystyle \Delta \ge 0\Leftrightarrow 4{{\left( a-2 \right)}^{2}}-8\left( 2{{a}^{2}}-4a+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}-4a-2\le 0$

Η ανισότητα αυτή οδηγεί στην συνθήκη $\displaystyle a\le \frac{2+\sqrt{10}}{3}$

Για τη μέγιστη τιμή του

είναι $\displaystyle b=\frac{2-a}{2}=\frac{4-\sqrt{10}}{6}$ μικρότερο του μεγίστου του

και επίσης $\displaystyle c=2-\left( a+b \right)=\frac{4-\sqrt{10}}{6}$ , μικρότερο του μεγίστου του

.

Τα

εναλλάσονται κυκλικά, οπότε η τιμή $\displaystyle \frac{2+\sqrt{10}}{3}$ είναι η μέγιστη δυνατή που μπορεί να λάβει κάποιος από τους τρεις αριθμούς.

KARKAR · #5

Μία ακόμη :

Είναι : a+b=2-c

και :

. Αλλά : $a^2+b^2\geq\dfrac{(a+b)^2}{2}$ ,

με την ισότητα να ισχύει για a=b

, οπότε : $3-c^2\geq\dfrac{(2-c)^2}{2}$ ,

ισοδύναμα : $3c^2-4c-2\leq 0$ , η οποία δίνει τις παραπάνω λύσεις .

Ο τρίτος ο μεγαλύτερος

Ο τρίτος ο μεγαλύτερος

Re: Ο τρίτος ο μεγαλύτερος

Re: Ο τρίτος ο μεγαλύτερος

Re: Ο τρίτος ο μεγαλύτερος

Re: Ο τρίτος ο μεγαλύτερος

Μέλη σε σύνδεση