Γενέθλια με κοινούς παππούδες

Al.Koutsouridis · #1

Στα γενέθλια του Θοδωρή έδωσαν το παρόν

παιδιά (συμπεριλαμβανομένου του Θοδωρή). Προέκυψε ότι κάθε δυο από αυτά τα παιδιά έχει κοινό παππού. Να αποδείξετε ότι, εφτά από αυτά έχουν κοινό παππού.

#2

Αν όλα τα παιδιά έχουν τους ίδιους δύο παππούδες τότε το ζητούμενο είναι προφανές. Αν δεν ισχύει αυτό, τότε υπάρχουν δύο άτομα, έστω τα A,B

με παππούδες τους X,Y

και

αντίστοιχα.

Αν κάποιο άλλο παιδί δεν έχει παππού τον

, πρέπει να έχει παππούδες τους

και

. Έστω ότι

από τα υπόλοιπα παιδιά έχουν παππούδες τους Y,Z

. Τότε τα υπόλοιπα 8-k

παιδιά έχουν παππού τον

. Πρέπει $k \geqslant 1$ αλλιώς όλοι έχουν παππού τον

.

Αφού όμως ένα από τα παιδιά έχει παππούδες τους Y,Z

τότε κάθε άλλο που έχει παππού τον

θα έχει επίσης παππού είτε τον

είτε τον

.

Επομένως έχουμε:

παιδιά με παππούδες τους Y,Z

παιδιά με παππούδες τους X,Y

παιδιά με παππούδες τους X,Z

Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $k \geqslant m \geqslant n$ . Επειδή k+m+n=10

, τότε $k+m \geqslant \frac{2}{3}(k+m+n) = \frac{20}{3}$ . Άρα $k+m \geqslant 7$ και έχουμε τουλάχιστον

παιδιά με παππού τον

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για να δούμε μια άλλη σκέψη.
Εστω ότι το μέγιστο πλήθος με κοινό παππού είναι

Εστω

αυτός ο παππούς και 1,2,3,4,5,6

αυτοί που τον έχουν.
Οι 7,8,9,10

δεν έχουν παππού τον

.
Εστω

οι παππούδες του

.
Επειδή έχει κοινό παππού με τους 1,2,3,4,5,6

οι δεύτεροι παππούδες αυτών θα είναι ένας από
τους Y,Z

.
Ετσι αναγκαστικά λόγω κοινού παππού οι παππούδες των 7,8,9,10

θα είναι οι Y,Z

.
Αλλά από τους 1,2,3,4,5,6

τουλαχιστον τρεις θα έχουν παππού τον

η τον

.
Αρα θα υπάρχουν τουλάχιστον

με κοινό παππού.
ΑΤΟΠΟ.
Αν το

αντικατασταθεί με μικρότερο αριθμό η λογική δουλεύει και πάλι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για να δούμε καλύτερα την παραπάνω σκέψη ,για n>2

παιδιά.
Μια περίπτωση είναι να έχουν όλα κοινό παππού.
Δεύτερη περίπτωση να μην έχουν κοινό παππού.
Εστω

ένας παππούς και 1,2,..,k

αυτοί που τον έχουν k>1

Ο

έχει παππούδες τους Y,Z

Επειδή έχει κοινό παππού με τους 1,2,..k

οι δεύτεροι παππούδες αυτών θα είναι ένας από
τους Y,Z

.
Λόγω κοινού παππού οι k+2,...,n

έχουν παππούδες τους Y,Z

.
(εδώ χρησιμοποιούμε ότι δεν υπάρχει κοινός παππούς)
Τελικα οι παππούδες είναι τρεις οι X,Y,Z

Αν ο

είναι παππούς σε

παιδιά,ο

είναι παππούς σε

παιδιά και ο

είναι παππούς σε

παιδιά
τότε k+m+r=2n

που δείχνει ότι

$max(k,m,r)\geq \frac{2n}{3}$

Γενέθλια με κοινούς παππούδες

Γενέθλια με κοινούς παππούδες

Re: Γενέθλια με κοινούς παππούδες

Re: Γενέθλια με κοινούς παππούδες

Re: Γενέθλια με κοινούς παππούδες

Μέλη σε σύνδεση