Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους
Αν θετικοί ακέραιοι έχουν άθροισμα και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους
Σωστά, αλλά ας δούμε και μια απόδειξη:
Σίγουρα πρέπει
Παρατηρώ ότι αν πρώτος και τότε ένας από τους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του . Τότε όμως θα έχω . Από αυτήν την παρατήρηση μπορούμε να απορρίψουμε τα εξής:
Το δεν γίνεται επειδή άρα , άτοπο.
Το δεν γίνεται επειδή ο είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή ο είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή ο .
Το δεν γίνεται επειδή είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή ο είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Για τα και θέλουμε λίγη περισσότερη προσοχή.
Αν τότε . Ένας από τους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του . Αναγκαστικά πρέπει να είναι ο αφού αλλιώς ένας από τους αριθμούς θα είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το και τότε θα έχουμε , άτοπο. Αλλά τότε θα πρέπει να έχουμε και ένα αριθμό πολλαπλάσιο του . Τότε όμως θα έχουμε , πάλι άτοπο.
Ομοίως αν τότε ένας από τους αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του . Πρέπει να είναι ίσος με (αλλιώς ). Τότε ένας από τους αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του . Τότε όμως πάλι άτοπο
Άρα και έχει δοθεί παράδειγμα από τον Διονύση που μπορεί να επιτευχθεί.
Σίγουρα πρέπει
Παρατηρώ ότι αν πρώτος και τότε ένας από τους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του . Τότε όμως θα έχω . Από αυτήν την παρατήρηση μπορούμε να απορρίψουμε τα εξής:
Το δεν γίνεται επειδή άρα , άτοπο.
Το δεν γίνεται επειδή ο είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή ο είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή ο .
Το δεν γίνεται επειδή είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή ο είναι πρώτος.
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Το δεν γίνεται επειδή .
Για τα και θέλουμε λίγη περισσότερη προσοχή.
Αν τότε . Ένας από τους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του . Αναγκαστικά πρέπει να είναι ο αφού αλλιώς ένας από τους αριθμούς θα είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το και τότε θα έχουμε , άτοπο. Αλλά τότε θα πρέπει να έχουμε και ένα αριθμό πολλαπλάσιο του . Τότε όμως θα έχουμε , πάλι άτοπο.
Ομοίως αν τότε ένας από τους αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του . Πρέπει να είναι ίσος με (αλλιώς ). Τότε ένας από τους αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του . Τότε όμως πάλι άτοπο
Άρα και έχει δοθεί παράδειγμα από τον Διονύση που μπορεί να επιτευχθεί.
Re: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους
Αν τότε θα πρέπει όλοι οι αριθμοί να είναι περιττή αλλά τότε το άθροισμα τούς θα άρτιος δηλαδή αδύνατο.
Άρα μένει να αποδείξουμε πως δεν γίνεται για
Άρα μένει να αποδείξουμε πως δεν γίνεται για
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους
Καλημέρα σε όλους τους φίλους,
Θυμάμαι το θέμα αυτό ως μαθητής ακόμη. Είναι από τον Διαγωνισμό Πόλεων του 1995-1996 (Tournament of Towns, εδώ και τα προβλήματα στα Ρωσικά: https://www.turgor.ru/en/problems/allproblems.php ) και το οποίο τέθηκε ως πρόβλημα στην Α-Β Λυκείου την παραπάνω σχολική χρονιά στο 1o Προκριματικό Διαγωνισμό (εκείνη την χρονιά έγιναν 3 προκριματικοί διαγωνισμοί για την επιλογή της ομάδας που θα μας εκπροσωπούσε στη BMO και IMO). Μάλιστα στον 1ο από τους 3 προκριματικούς διαγωνισμούς τα θέματα ήταν διαφορετικά για Α-Β Λυκείου και διαφορετικά για τη Γ Λυκείου. Τα προβλήματα της Α-Β Λυκείου όπου υπάρχει το παραπάνω πρόβλημα, θα τα βρείτε και εδώ http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=117357 και στην πρωτότυπη μορφή τους εδώ: https://www.turgor.ru/en/problems/17/in ... urnir17vts
Αλέξανδρος
Θυμάμαι το θέμα αυτό ως μαθητής ακόμη. Είναι από τον Διαγωνισμό Πόλεων του 1995-1996 (Tournament of Towns, εδώ και τα προβλήματα στα Ρωσικά: https://www.turgor.ru/en/problems/allproblems.php ) και το οποίο τέθηκε ως πρόβλημα στην Α-Β Λυκείου την παραπάνω σχολική χρονιά στο 1o Προκριματικό Διαγωνισμό (εκείνη την χρονιά έγιναν 3 προκριματικοί διαγωνισμοί για την επιλογή της ομάδας που θα μας εκπροσωπούσε στη BMO και IMO). Μάλιστα στον 1ο από τους 3 προκριματικούς διαγωνισμούς τα θέματα ήταν διαφορετικά για Α-Β Λυκείου και διαφορετικά για τη Γ Λυκείου. Τα προβλήματα της Α-Β Λυκείου όπου υπάρχει το παραπάνω πρόβλημα, θα τα βρείτε και εδώ http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=117357 και στην πρωτότυπη μορφή τους εδώ: https://www.turgor.ru/en/problems/17/in ... urnir17vts
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες