Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους

#1

Αν

θετικοί ακέραιοι έχουν άθροισμα

και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

2nisic · #2

για

#3

Σωστά, αλλά ας δούμε και μια απόδειξη:

Σίγουρα πρέπει $S \geqslant 100$

Παρατηρώ ότι αν

πρώτος και p^k|S

τότε ένας από τους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του p^k

. Τότε όμως θα έχω $S \geqslant 99 + p^k$ . Από αυτήν την παρατήρηση μπορούμε να απορρίψουμε τα εξής:

Το S = 100

δεν γίνεται επειδή 5|100

άρα $S \geqslant 99 + 5 = 104$ , άτοπο.
Το S= 101

δεν γίνεται επειδή ο 101

είναι πρώτος.
Το S= 102

δεν γίνεται επειδή 17|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή ο 103

είναι πρώτος.
Το S= 104

δεν γίνεται επειδή 13|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή 7|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή ο 53|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή 107

είναι πρώτος.
Το S= 108

δεν γίνεται επειδή 27|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή 109

είναι πρώτος.
Το S= 110

δεν γίνεται επειδή 11|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή 37|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή 16|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή ο 113

είναι πρώτος.
Το S= 114

δεν γίνεται επειδή 19|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή 23|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή 29|S

.
Το

δεν γίνεται επειδή 59|S

.

Για τα S=117

και

θέλουμε λίγη περισσότερη προσοχή.

Αν $S=117 = 3^2 \cdot 13$ τότε 13|S

. Ένας από τους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του

. Αναγκαστικά πρέπει να είναι ο

αφού αλλιώς ένας από τους αριθμούς θα είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το

και τότε θα έχουμε $S \geqslant 125$ , άτοπο. Αλλά τότε θα πρέπει να έχουμε και ένα αριθμό πολλαπλάσιο του

. Τότε όμως θα έχουμε $S \geqslant 13 + 9 + 98 > 117$ , πάλι άτοπο.

Ομοίως αν $S = 119 = 7 \cdot 17$ τότε ένας από τους αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του

. Πρέπει να είναι ίσος με

(αλλιώς $S \geqslant 99 + 34$ ). Τότε ένας από τους αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του

. Τότε όμως $S \geqslant 98 + 17 + 7 > 119$ πάλι άτοπο

Άρα $S \geqslant 120$ και έχει δοθεί παράδειγμα από τον Διονύση που μπορεί να επιτευχθεί.

2nisic · #4

Αν

τότε θα πρέπει όλοι οι αριθμοί να είναι περιττή αλλά τότε το άθροισμα τούς θα άρτιος δηλαδή S=even

αδύνατο.

Άρα μένει να αποδείξουμε πως δεν γίνεται για S=100,102,....,118

#5

Καλημέρα σε όλους τους φίλους,

Θυμάμαι το θέμα αυτό ως μαθητής ακόμη. Είναι από τον Διαγωνισμό Πόλεων του 1995-1996 (Tournament of Towns, εδώ και τα προβλήματα στα Ρωσικά: https://www.turgor.ru/en/problems/allproblems.php ) και το οποίο τέθηκε ως πρόβλημα στην Α-Β Λυκείου την παραπάνω σχολική χρονιά στο 1o Προκριματικό Διαγωνισμό (εκείνη την χρονιά έγιναν 3 προκριματικοί διαγωνισμοί για την επιλογή της ομάδας που θα μας εκπροσωπούσε στη BMO και IMO). Μάλιστα στον 1ο από τους 3 προκριματικούς διαγωνισμούς τα θέματα ήταν διαφορετικά για Α-Β Λυκείου και διαφορετικά για τη Γ Λυκείου. Τα προβλήματα της Α-Β Λυκείου όπου υπάρχει το παραπάνω πρόβλημα, θα τα βρείτε και εδώ http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=117357 και στην πρωτότυπη μορφή τους εδώ: https://www.turgor.ru/en/problems/17/in ... urnir17vts

Αλέξανδρος

Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους

Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους

Re: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους

Re: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους

Re: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους

Re: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους

Μέλη σε σύνδεση