Ελαχιστοποίηση τμήματος

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελαχιστοποίηση τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 22, 2021 1:38 pm

Ελαχιστοποίηση  τμήματος.png
Ελαχιστοποίηση τμήματος.png (6.76 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές
Οι μεταβλητές κάθετες πλευρές AB , AC ορθογωνίου τριγώνου ABC , έχουν σταθερό άθροισμα 14 .

Στην BC βρίσκεται σημείο S ,τέτοιο ώστε : BS=\dfrac{3}{7}BC . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του AS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Απρ 22, 2021 2:00 pm

Καλησπέρα σε όλους.


22-04-2021 Γεωμετρία.png
22-04-2021 Γεωμετρία.png (25.24 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

Έστω B(a,0), C(0,14-a), 0<a<14

Έστω  \displaystyle  S\left( {x,y} \right) άρα  \displaystyle  \overrightarrow {BS}  = \frac{3}{7}\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left( {x - a,y} \right) = \frac{3}{7}\left( { - a,14 - a} \right)

οπότε  \displaystyle  \left\{ \begin{array}{l} 
x = \frac{{4a}}{7}\\ 
y = 6 - \frac{{3a}}{7} 
\end{array} \right.

Από το σύστημα, έχουμε ότι το S κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα με εξίσωση  \displaystyle  (e) \;\; y =  - \frac{{3x}}{4} + 6, στο 1ο τεταρτημόριο, αφού ανήκει στο BC.

Το AS γίνεται ελάχιστο, όταν  \displaystyle  AS \bot e , οπότε  \displaystyle  AS:\;\;y = \frac{4}{3}x

Το ελάχιστο είναι  \displaystyle {S_{\min }} = d\left( {O,\;e} \right) = \frac{{24}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{24}}{5}

BONUS: Λύνοντας το σύστημα των e, AS βρίσκουμε  \displaystyle  S\left( {\frac{{72}}{{25}},\;\frac{{96}}{{25}}} \right)


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Απρ 22, 2021 6:25 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 22, 2021 1:38 pm
Ελαχιστοποίηση τμήματος.pngΟι μεταβλητές κάθετες πλευρές AB , AC ορθογωνίου τριγώνου ABC , έχουν σταθερό άθροισμα 14 .

Στην BC βρίσκεται σημείο S ,τέτοιο ώστε : BS=\dfrac{3}{7}BC . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του AS .
 \dfrac{DS}{SA}= \dfrac{3}{4}  \Rightarrow AD= \dfrac{7}{4}AS και DB= \dfrac{3}{4} b

AS=min \Leftrightarrow AS^2=min.

Αλλά (Π.Θ)  \dfrac{49}{16}AS^2 = \dfrac{9}{16}b^2+(14-b)^2  \Leftrightarrow AS^2=( \dfrac{3b}{7})^2+ [\dfrac{4(14-b)}{7}]^2= \dfrac{1}{49}(25b^2-448b+3136)


και  AS^2=min όταν   b= \dfrac{224}{25} =8,96 οπότε κι εύκολα AS_{min}= \dfrac{24}{5}
ελάχιστο τμήματος.png
ελάχιστο τμήματος.png (7.12 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Παρ Απρ 23, 2021 11:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 22, 2021 11:24 pm

Ας είναι T η προβολή του S στην AB και AT = x\,\,,\,\,TS = y\,\,.
Ελαχιστοποίηση τμήματος.png
Ελαχιστοποίηση τμήματος.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Επειδή : \left\{ \begin{gathered} 
  AB = \frac{{7x}}{4} \hfill \\ 
  AC = \frac{{7y}}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow 14 = \dfrac{{7x}}{4} + \dfrac{{7y}}{3} \Leftrightarrow \boxed{24 = 3x + 4y}\,\,\left( 1 \right) και \boxed{A{S^2} = {x^2} + {y^2}}\,\,\left( 2 \right)

μπορούμε να εκφράσουμε το A{S^2} με μια μεταβλητή ( x είτε y) και να βρούμε το ελάχιστό του , αλλά ας το δούμε εκτός φακέλου .

Η σχέση \left( 2 \right) παριστάνει κύκλο κέντρου O\left( {0,0} \right) και ακτίνας AS = R ενώ η \left( 1 \right)

παριστάνει ευθεία με εξίσωση : 3x + 4y - 24 = 0 συνεπώς το ζητούμενο ελάχιστο

είναι η απόσταση του O\left( {0,0} \right) από την εν λόγω ευθεία δηλαδή \boxed{{R_{\min }} = \dfrac{{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 24|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{24}}{5}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 23, 2021 9:13 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 22, 2021 1:38 pm
Ελαχιστοποίηση τμήματος.pngΟι μεταβλητές κάθετες πλευρές AB , AC ορθογωνίου τριγώνου ABC , έχουν σταθερό άθροισμα 14 .

Στην BC βρίσκεται σημείο S ,τέτοιο ώστε : BS=\dfrac{3}{7}BC . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του AS .



\displaystyle {b^2} + {c^2} = 196 - 2bc \Leftrightarrow \boxed{a^2=196-2bc} (1) και με θεώρημα \displaystyle {\rm{Stewart}} (εκτός φακέλου):

\displaystyle \frac{{3a{b^2}}}{7} + \frac{{4a{c^2}}}{7} = aA{S^2} + a \cdot \frac{{12{a^2}}}{{49}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{AS = \frac{{\sqrt {25{b^2} - 448b + 3136} }}{7}} και παρουσιάζει για

\boxed{b=\frac{224}{25}} ελάχιστη τιμή ίση με \boxed{A{S_{\min }} = \frac{{24}}{5}}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Απρ 23, 2021 2:04 pm

Έχοντας την εικόνα της πρώτης απάντησης (του Γιώργου Ρίζου) που δικαιολογεί ότι ο γ.τ. του S είναι η ευθεία y=-{3 \over 4}x + 6,
και επιτυγχάνεται όταν το S ταυτίζεται με το H, απλά να παραθέσω ακόμα ένα υπολογισμό για AS_{min} = AH.

Επειδή τα τρίγωνα HFA, HAG, AFG είναι προφανώς όμοια και του είδους (3,4,5), θα είναι

\displaystyle{ 
\left. 
\begin{aligned} 
& {FH \over AF} = {3 \over 5} \rightarrow FH =  {3 \over 5}\cdot 6 = 3.6 \cr 
& {HG \over AG} = {4 \over 5} \rightarrow HG =  {4 \over 5}\cdot 8 = 6.4 \cr 
\end{aligned} 
\right\}  \rightarrow AH^2 = FH \cdot HG = {36 \over 10}{64 \over 10} \rightarrow AH = 4.8 
}
Συνημμένα
rsz_eltmima12.png
rsz_eltmima12.png (79.46 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης