Ελαχιστοποίηση τμήματος

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση τμήματος.png (6.76 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Οι μεταβλητές κάθετες πλευρές AB , AC

ορθογωνίου τριγώνου ABC

, έχουν σταθερό άθροισμα

.

Στην

βρίσκεται σημείο

,τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{3}{7}BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του

.

#2

Καλησπέρα σε όλους.

: 22-04-2021 Γεωμετρία.png (25.24 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Έστω

Έστω $\displaystyle S\left( {x,y} \right)$ άρα $\displaystyle \overrightarrow {BS} = \frac{3}{7}\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left( {x - a,y} \right) = \frac{3}{7}\left( { - a,14 - a} \right)$

οπότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{4a}}{7}\\ y = 6 - \frac{{3a}}{7} \end{array} \right.$

Από το σύστημα, έχουμε ότι το

κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα με εξίσωση $\displaystyle (e) \;\; y = - \frac{{3x}}{4} + 6$ , στο 1ο τεταρτημόριο, αφού ανήκει στο

.

Το

γίνεται ελάχιστο, όταν $\displaystyle AS \bot e$ , οπότε $\displaystyle AS:\;\;y = \frac{4}{3}x$

Το ελάχιστο είναι $\displaystyle {S_{\min }} = d\left( {O,\;e} \right) = \frac{{24}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{24}}{5}$

BONUS: Λύνοντας το σύστημα των e, AS

βρίσκουμε $\displaystyle S\left( {\frac{{72}}{{25}},\;\frac{{96}}{{25}}} \right)$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 22, 2021 1:38 pm
Ελαχιστοποίηση τμήματος.pngΟι μεταβλητές κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου , έχουν σταθερό άθροισμα .

Στην βρίσκεται σημείο ,τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{3}{7}BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του .

$\dfrac{DS}{SA}= \dfrac{3}{4} \Rightarrow AD= \dfrac{7}{4}AS$ και $DB= \dfrac{3}{4} b$

$AS=min \Leftrightarrow AS^2=min$ .

Αλλά (Π.Θ) $\dfrac{49}{16}AS^2 = \dfrac{9}{16}b^2+(14-b)^2 \Leftrightarrow AS^2=( \dfrac{3b}{7})^2+ [\dfrac{4(14-b)}{7}]^2= \dfrac{1}{49}(25b^2-448b+3136)$

και

όταν $b= \dfrac{224}{25} =8,96$ οπότε κι εύκολα $AS_{min}= \dfrac{24}{5}$

: ελάχιστο τμήματος.png (7.12 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

#4

Ας είναι

η προβολή του

στην

και $AT = x\,\,,\,\,TS = y\,\,$ .

: Ελαχιστοποίηση τμήματος.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Επειδή : $\left\{ \begin{gathered} AB = \frac{{7x}}{4} \hfill \\ AC = \frac{{7y}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 14 = \dfrac{{7x}}{4} + \dfrac{{7y}}{3} \Leftrightarrow \boxed{24 = 3x + 4y}\,\,\left( 1 \right)$ και $\boxed{A{S^2} = {x^2} + {y^2}}\,\,\left( 2 \right)$

μπορούμε να εκφράσουμε το $A{S^2}$ με μια μεταβλητή (

είτε

) και να βρούμε το ελάχιστό του , αλλά ας το δούμε εκτός φακέλου .

Η σχέση $\left( 2 \right)$ παριστάνει κύκλο κέντρου $O\left( {0,0} \right)$ και ακτίνας AS = R

ενώ η $\left( 1 \right)$

παριστάνει ευθεία με εξίσωση : 3x + 4y - 24 = 0

συνεπώς το ζητούμενο ελάχιστο

είναι η απόσταση του $O\left( {0,0} \right)$ από την εν λόγω ευθεία δηλαδή $\boxed{{R_{\min }} = \dfrac{{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 24|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{24}}{5}}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 22, 2021 1:38 pm
Ελαχιστοποίηση τμήματος.pngΟι μεταβλητές κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου , έχουν σταθερό άθροισμα .

Στην βρίσκεται σημείο ,τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{3}{7}BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του .

$\displaystyle {b^2} + {c^2} = 196 - 2bc \Leftrightarrow$ $\boxed{a^2=196-2bc}$ (1)

και με θεώρημα $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ (εκτός φακέλου):

$\displaystyle \frac{{3a{b^2}}}{7} + \frac{{4a{c^2}}}{7} = aA{S^2} + a \cdot \frac{{12{a^2}}}{{49}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{AS = \frac{{\sqrt {25{b^2} - 448b + 3136} }}{7}}$ και παρουσιάζει για

$\boxed{b=\frac{224}{25}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{A{S_{\min }} = \frac{{24}}{5}}$

nickchalkida · #6

Έχοντας την εικόνα της πρώτης απάντησης (του Γιώργου Ρίζου) που δικαιολογεί ότι ο γ.τ. του

είναι η ευθεία $y=-{3 \over 4}x + 6$ ,
και επιτυγχάνεται όταν το

ταυτίζεται με το

, απλά να παραθέσω ακόμα ένα υπολογισμό για $AS_{min} = AH$ .

Επειδή τα τρίγωνα HFA

,

είναι προφανώς όμοια και του είδους (3,4,5)

, θα είναι

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & {FH \over AF} = {3 \over 5} \rightarrow FH = {3 \over 5}\cdot 6 = 3.6 \cr & {HG \over AG} = {4 \over 5} \rightarrow HG = {4 \over 5}\cdot 8 = 6.4 \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow AH^2 = FH \cdot HG = {36 \over 10}{64 \over 10} \rightarrow AH = 4.8 }$

Ελαχιστοποίηση τμήματος

Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Μέλη σε σύνδεση