Γινόμενο

#1

Αν $\displaystyle{a=\frac{b+c}{x-2}, \ \ b=\frac{c+a}{y-2}, \ \ c=\frac{a+b}{z-2},}$ και $\displaystyle{xy+yz+zx=67, \ x+y+z=2010}$
να βρείτε το γινόμενο xyz.

Lymperis Karras · #2

Επαναφορά

vassilis314 · #3

Έχουμε
$(x-2)(y-2)(z-2)= 4 (x+y+z) - 2(xy+xz+yz) + xyz \Leftrightarrow$ $(x-2)(y-2)(z-2)= 4 \cdot 2010 - 2\cdot 67 + xyz \Leftrightarrow$ $(x-2)(y-2)(z-2)= 8040 - 134 + xyz \Leftrightarrow$ xyz = (x-2)(y-2)(z-2) - 7906

(1)

Πρέπει να υπολογίσουμε το γινόμενο (x-2)(y-2)(z-2)

Έχουμε

$x-2 = \frac{b+c}{a}$
$y-2 = \frac{a+c}{b}$
$z-2 = \frac{b+a}{c}$

Άρα
$(x-2)(y-2)(z-2)= \frac{b+c}{a}\frac{a+c}{b}\frac{a+b}{c} = \left(\frac{b}{a}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\frac{a}{b}+\frac{c}{a}\frac{c}{b}\right)\frac{a+b}{c}= \left(1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c^2}{ab}\right)\frac{a+b}{c}=$
$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+ \frac{b}{a} +\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a} +2$ (2)

Όμως
$x-2+y-2+z-2 = \frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c} \Leftrightarrow x+y+z-6 =\frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c} \Leftrightarrow$ $\frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c} =2010 - 6 \Leftrightarrow \frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c} =2004\Leftrightarrow$
$\frac{b}{a}+\frac{c}{a} +\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c} =2004$ (3)

Με αντικατάσταση της (3) στη (2) η (2) γίνεται:
(x-2)(y-2)(z-2)=2004+2=2006

Τέλος αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε:
xyz = 2006 - 7906 = -5900

#4

Η ιδέα για την λύση είναι ότι οι παραστάσεις

$\displaystyle{K=\frac{b+c}{a},L=\frac{c+a}{b},M=\frac{a+b}{c}}$

ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{\boxed{KLM=K+L+M+2}}$ .

Στο πρόβλημά μας είναι $\displaystyle{K=x-2,L=y-2,M=z-2,}$ οπότε $\displaystyle{(x-2)(y-2)(z-2)=x-2+y-2+z-2+2,}$ δηλαδή

$\displaystyle{xyz=2(xy+yz+zx)-3(x+y+z)+4.}$

Βρίσκω $\displaystyle{xyz=-5892.}$

Γινόμενο

Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση