Σύστημα

#1

Να λύσετε το σύστημα
$\displaystyle{\begin{cases} x^2 = x + y + 4 \\ y^2 = y − 15x + 36 \end{cases}}$

#2

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 5:23 pm
Να λύσετε το σύστημα
$\displaystyle{\begin{cases} x^2 = x + y + 4 \\ y^2 = y − 15x + 36 \end{cases}}$

Από την πρώτη $\boxed{y=x^2-x-4}$ και αντικαθιστώντας στην δεύτερη μετά τις πράξεις έχουμε:

$\displaystyle {x^4} - 2{x^3} - 8{x^2} + 24x - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^3}(x - 2) - 8({x^2} - 3x + 2) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^3}(x - 2) - 8(x - 1)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)({x^3} - 8x + 8) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle (x - 2)({x^3} - 8 - 8x + 16) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)\left( {(x - 2)({x^2} + 2x + 4) - 8(x - 2)} \right) = 0$

$\displaystyle (x - 2{)^2}({x^2} + 2x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 1 \pm \sqrt 5 .$ Με αντικατάσταση τώρα παίρνουμε:

$\boxed{x=2,y=-2}$ ή $\boxed{x = - 1 + \sqrt 5 ,y = 3(1 - \sqrt 5 )}$ ή $\boxed{x = - 1 - \sqrt 5 ,y = 3(1 + \sqrt 5 )}$

Ίσως υπάρχει και συντομότερη λύση.

STOPJOHN · #3

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 5:23 pm
Να λύσετε το σύστημα
$\displaystyle{\begin{cases} x^2 = x + y + 4 \\ y^2 = y − 15x + 36 \end{cases}}$

Καλησπέρα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ

$x^{2}=x+y+4,(1), y^{2}=y-15x+36,(2), (1)-(2)\Rightarrow x+y=\dfrac{16(x-2)}{x-y},(*), x\neq y (1),(*)\Rightarrow x^{2}-4=\dfrac{16(x-2)}{x-y}\Leftrightarrow x=2,x+2=\dfrac{16}{x-y} ,(x,y)=(2,-2)$
Για

$x+2=\dfrac{16}{x-y}\Leftrightarrow y=\dfrac{x^{2}=2x-16}{x+2},(**), (**),(1)\Rightarrow x^{3}-8x+8=0 \Leftrightarrow x=2,x=-1+\sqrt{5},x=-1-\sqrt{5}$

και βρίσκουμε τα αντιστοιχα y

S.E.Louridas · #4

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 5:23 pm
Να λύσετε το σύστημα
$\displaystyle{\begin{cases} x^2 = x + y + 4 \\ y^2 = y − 15x + 36 \end{cases}}$

Καλή Χρονιά με Υγεία και Πρόοδο.
Ας δούμε και την άποψη που ακολουθεί:
Αν πολλαπλασιάσουμε τη πρώτη επί

και αφαιρέσουμε κατά μέλη εύκολα παίρνουμε την ισότητα ${\left( {3x - 4} \right)^2} = {\left( {y + 4} \right)^2}$ που μας οδηγεί στην διάζευξη $\left( {y = 3x - 8} \right)\;{\text{\dot \eta }}\;\left( {y = - 3x} \right).$ Aντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντίστοιχα παίρνουμε: x = 2,

οπότε

ή $x = - 1 + \sqrt 5 ,$ οπότε $y = 3 - 3\sqrt 5$ ή $x = - 1 - \sqrt 5 ,$ οπότε $y = 3 +3\sqrt 5.$

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση