Αρχαίοι Έλληνες

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αρχαίοι Έλληνες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 04, 2020 1:08 pm

Αρχαίοι  Έλληνες.png
Αρχαίοι Έλληνες.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC είναι γνωστό ότι : BC=a , AC=b . Επί της BC

επιλέγουμε σημείο S και στην προέκταση της CA σημείο T , ώστε : AT=CS=x .

Υπολογίστε το x , ώστε : TS=BC .

Επειδή η άσκηση εξετάζει - κυρίως - γνώσεις στην Άλγεβρα , μια παράκληση :

Δημοσιεύστε την λύση σας μόνο έχετε βρει τελικό αποτέλεσμα .



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Αρχαίοι Έλληνες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Δεκ 04, 2020 8:17 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 04, 2020 1:08 pm
Αρχαίοι Έλληνες.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC είναι γνωστό ότι : BC=a , AC=b . Επί της BC

επιλέγουμε σημείο S και στην προέκταση της CA σημείο T , ώστε : AT=CS=x .

Υπολογίστε το x , ώστε : TS=BC .

Επειδή η άσκηση εξετάζει - κυρίως - γνώσεις στην Άλγεβρα , μια παράκληση :

Δημοσιεύστε την λύση σας μόνο έχετε βρει τελικό αποτέλεσμα .
Στο τρίγωνο TBC,(a-x)(x+b)^{2}+x.TB^{2}=a[a^{2}+x(a-x)],(1),

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

TAB,TB^{2}=c^{2}+x^{2},(2), 
 
      (1),(2)\Rightarrow 2(a-b)x^{2}+(2ab-b^{2}+c^{2}-a^{2})x+a(b^{2}-a^{2})=0\Leftrightarrow 
 
             2x^{2}+2bx-a(a-b)=0\Rightarrow x=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}+2a^{2}+2ab}}{2}.

Και η κατασκευή τη θυμήθηκα απο το Νίκο

ειναι 2x=\sqrt{(a+b)^{2}}-b

Για τον κόκκινο κύκλο είναι (A,b),AT=b

Για τον κίτρινο κυκλο (K,a),KZ\perp KC,CZ=a\sqrt{2}

Για τον μπλέ κύκλο (C,a),TZ=2x
Συνημμένα
Αρχαίοι Ελληνες κατασκευη.png
Αρχαίοι Ελληνες κατασκευη.png (141.59 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Αρχαίοι Ελληνες.png
Αρχαίοι Ελληνες.png (19.7 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Παρ Δεκ 04, 2020 10:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αρχαίοι Έλληνες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 04, 2020 9:47 pm

Αρχαίοι Έλληνες.png
Αρχαίοι Έλληνες.png (8.49 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές
Ας είναι K η προβολή του S στην AC. Επειδή \vartriangle ABC \approx \vartriangle KSC, θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{SK}}{c} = \frac{{KC}}{b} = \frac{x}{a} \hfill \\ 
  AK = b - KC \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  KC = \frac{{bx}}{a}\,\,,\,\,SK = \frac{{cx}}{a} \hfill \\ 
  AK = b\frac{{a - x}}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\,\left(  *  \right) . Από το Π. Θ. στο \vartriangle KST έχω :

{\left( {x + AK} \right)^2} + K{S^2} = T{S^2} = {a^2} . Από τις πιο πάνω σχέσεις \left(  *  \right) και αφού {c^2} = {a^2} - {b^2} έχω:

2{x^2} + 2bx - a\left( {a + b} \right) = 0 απ’ όπου : \boxed{x = \frac{{\sqrt {2{a^2} + 2ab + {b^2}}  - b}}{2}}.

Ίσως αργότερα δώσω και Γεωμετρική κατασκευή ( λόγω τίτλου).


Γεωμετρική Κατασκευή


Σε μια ευθεία θεωρώ διαδοχικά τα σημεία : K,L,M,N με : \boxed{KL = \frac{a}{2}\,\,,\,LM = a\,,\,MN = b}

Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου KN και υψώνω κάθετη στο L επί την KN και

τέμνει το ημικύκλιο στο J. Αν LJ = u θα είναι \boxed{{u^2} = KL \cdot LN = \frac{a}{2}\left( {a + b} \right)}\,\,\left( 1 \right)

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο N και η από το J παράλληλη στην KN τέμνονται στο F.

Γράφω τον κύκλο κέντρου O και διαμέτρου MN = b και φέρνω την ευθεία , FO και τον τέμνει πρώτα στο P και μετά στο Q.
Αρχαίοι Έλληνες_Κατασκευή.png
Αρχαίοι Έλληνες_Κατασκευή.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές
Θα δείξω ότι το \boxed{FP = x}.

Πράγματι η εξίσωση : 2{x^2} + 2bx - a\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \boxed{x(x + b) = \frac{a}{2}\left( {a + b} \right)}

Επειδή διαδοχικά έχω και λόγω της \left( 1 \right):

\boxed{\frac{a}{2}\left( {a + b} \right) = {u^2} = F{N^2} = FP \cdot FQ = FP\left( {EP + b} \right) \Rightarrow x = FP}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αρχαίοι Έλληνες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 05, 2020 9:09 am

Νόμος συνημιτόνου στο TSC.
Αρχαίοι Έλληνες.png
Αρχαίοι Έλληνες.png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές
\displaystyle {a^2} = {(x + b)^2} + {x^2} - 2x(x + b)\frac{b}{a}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{a \ne b} 2{x^2} + 2bx - a(a + b) = 0 \Leftrightarrow \boxed{ x = \frac{{ - b + \sqrt {2{a^2} + 2ab + {b^2}} }}{2}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αρχαίοι Έλληνες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 05, 2020 9:32 am

... \boxed{ x = \frac{{ - b + \sqrt {{a^2} + {(a+b)^2}} }}{2}} . :!:

Φίλοι μου σας ευχαριστώ ! Έδωσα αυτόν τον τίτλο , αναμένοντας την λύση του Νίκου ,

η οποία χρησιμοποιεί Θαλή και Πυθαγόρα . Κι όμως η πρώτη λύση ήταν με Stewart !

Το γεγονός δεν θα προκαλούσε μεγάλη εντύπωση . Αλλά την ίδια μέρα , ανάρτησα αυτήν

την άσκηση , όπου περίμενα λύση με Stewart , έλαβα όμως ( εξαιρετική ) διαφορετική απάντηση !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αρχαίοι Έλληνες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 05, 2020 1:56 pm

Να καταγγείλω ότι αποκλείστηκα από τους Νεότερους Ευρωπαίους κατόπιν μονομερούς συμφωνίας του KARKAR :roll:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης