Κοκκινομπλέ κύκλος

[Λάμπρος Κατσάπας]

Κάθε σημείο ενός κύκλου είναι χρωματισμένο με μπλε ή κόκκινο χρώμα. Αποδείξτε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρία σημεία τα οποία έχουν όλα το ίδιο χρώμα και σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο. Ισχύει το ίδιο απαραίτητα για ισόπλευρο;

[Mihalis_Lambrou]

Κάθε σημείο ενός κύκλου είναι χρωματισμένο με μπλε ή κόκκινο χρώμα. Αποδείξτε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρία σημεία τα οποία έχουν όλα το ίδιο χρώμα και σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο. Ισχύει το ίδιο απαραίτητα για ισόπλευρο;

Κάνω το ισοσκελές. Δεν κοίταξα το ισόπλευρο γιατί είμαι έτοιμος για ύπνο (έγερση στις 4:30 αύριο).

Δεν μου είναι σαφές αν τα σημεία πρέπει να είναι στην περιφέρεια ή οπουδήποτε. Κάνω το πρώτο, το δυσκολότερο, που έχει έτσι και αλλιώς πόρισμα το δεύτερο.

Παίρνουμε δύο ομοιόχρωμα σημεία στην περιφέρεια. Ας πούμε . Κοιτάω το σημείο που η μεσοκάθετός τους τέμνει τη περιφέρεια. Αν το σημείο αυτό είναι , τελειώσαμε, οπότε έστω ότι είναι . Παίρνω αριστερά του αριστερού ένα σημείο της περιφέρειας σε απόσταση ίση με την απόσταση των δύο . Αν είναι , τελειώσαμε, οπότε έστω ότι είναι . Παίρνω τώρα δεξιά του δεξιού ένα σημείο της περιφέρειας σε απόσταση ίση με την απόσταση των δύο . Αν είναι , τελειώσαμε, οπότε έστω ότι είναι . Τώρα όμως έχω ισοσκελές τρίγωνο από τρία .

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Κάθε σημείο ενός κύκλου είναι χρωματισμένο με μπλε ή κόκκινο χρώμα. Αποδείξτε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρία σημεία τα οποία έχουν όλα το ίδιο χρώμα και σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο. Ισχύει το ίδιο απαραίτητα για ισόπλευρο;

Στην ουσία είναι η λύση του Μιχάλη πιο καλά διατυπωμένη.

Θα το δείξουμε γενικότερα για κανονικό δωδεκάγωνο.

Εστω
το κανονικό δωδεκάγωνο.

Παίρνουμε το κανονικό εξάγωνο



Αν τα χρώματα είναι εναλλάξ τότε υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με τα ίδια χρώματα.
Διαφορετικά υπάρχουν δύο διαδοχικές κορυφές με το ίδιο χρώμα.

Λόγω συμμετρίας μπορώ να υποθέσω ότι οι
είναι Κ.

Αν μία τουλάχιστον από τις
είναι Κ τότε υπάρχει ισοσκελές.

Διαφορετικά οι θα είναι Μ.

Ανάλογα με το χρώμα του

ένα από τα τρίγωνα

θα είναι ισοσκελές με το ίδιο χρώμα στις κορυφές του.

Η απόδειξη δίνει ότι το ισοσκελές τρίγωνο έχει δυνατότητες.



Ισόπλευρο δεν γίνεται.
Αρκεί ένα ημικύκλιο να είναι Κ και το άλλο Μ.

[Ορέστης Λιγνός]

Κάθε σημείο ενός κύκλου είναι χρωματισμένο με μπλε ή κόκκινο χρώμα. Αποδείξτε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρία σημεία τα οποία έχουν όλα το ίδιο χρώμα και σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο. Ισχύει το ίδιο απαραίτητα για ισόπλευρο;

α) Για το ισοσκελές :

Θεωρούμε ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω ότι η κορυφή είναι κόκκινη.

Περίπτωση 1 : Η κορυφή είναι κόκκινη.

Τότε, αν και η είναι κόκκινη, σχηματίζεται το ισοσκελές τρίγωνο (3 κόκκινες), άρα τελειώσαμε.
Αν η είναι μπλε, τότε αν η είναι κόκκινη, από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε το ζητούμενο.

Έστω ότι η είναι μπλε. Ομοίως, έστω ότι και η είναι μπλε (από το ισοσκελές ).

Τώρα όμως, σχηματίζεται το ισοσκελές τρίγωνο με τρεις μπλε κορυφές, άρα πάλι τελειώσαμε.

Περίπτωση 2 : Η κορυφή είναι μπλε.

Τότε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορώ να υποθέσω ότι η είναι κόκκινη. Αν η είναι κόκκινη, έχω το ισοσκελές τρίγωνο με τρεις κόκκινες κορυφές.

Αν η είναι μπλε, τότε αν η είναι μπλε, σχηματίζεται το ισοσκελές τρίγωνο με τρεις μπλε κορυφές, ενώ αν η είναι κόκκινη, σχηματίζεται το ισοσκελές τρίγωνο με τρεις κόκκινες κορυφές.

Σε κάθε περίπτωση, λοιπόν, σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές ίδιου χρώματος.

β) Για το ισόπλευρο : Η απάντηση είναι Όχι.

Πράγματι, αν χρωματίσω τις 3 κορυφές κάθε σχηματιζόμενου ισοπλεύρου τριγώνου κόκκινη - κόκκινη - μπλε, τότε αφού σε κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί μόνο ένα ισόπλευρο τρίγωνο (δεν έχουμε δηλαδή σημείο που να ανήκει σε δύο ισόπλευρα τρίγωνα) έπεται το ζητούμενο!

SHMEIA_KYKLOY.png (35.64 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

[Demetres]

Δυσκολότερο: Αν χρησιμοποιήσουμε τρία (ή περισσότερα) χρώματα μπορούμε να βρούμε μονόχρωμο ισοσκελές τρίγωνο;

[socrates]

Δυσκολότερο: Αν χρησιμοποιήσουμε τρία (ή περισσότερα) χρώματα μπορούμε να βρούμε μονόχρωμο ισοσκελές τρίγωνο;

Επαναφορά!