Ελαχιστοποίηση τμήματος

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11621
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελαχιστοποίηση τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 13, 2019 1:32 pm

Ελαχιστοποίηση  τμήματος.png
Ελαχιστοποίηση τμήματος.png (7.21 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Στα άκρα τμήματος AB =d , φέρω κάθετες προς αυτό και ομόρροπες ημιευθείες

Ax και By . Επί της Ax κινείται σημείο S . Η μεσοκάθετη του BS τέμνει το AB

στο σημείο P και την By στο σημείο T . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος PT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9344
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 13, 2019 5:04 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 1:32 pm
Ελαχιστοποίηση τμήματος.pngΣτα άκρα τμήματος AB =d , φέρω κάθετες προς αυτό και ομόρροπες ημιευθείες

Ax και By . Επί της Ax κινείται σημείο S . Η μεσοκάθετη του BS τέμνει το AB

στο σημείο P και την By στο σημείο T . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος PT .
Έστω AS=x.
Ελαχιστοποίηση τμήματος.Κ.png
Ελαχιστοποίηση τμήματος.Κ.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές
\boxed{BS = \sqrt {{x^2} + {d^2}} } (1) και \displaystyle B{P^2} = PM \cdot PT \Leftrightarrow \boxed{PT = \frac{{B{P^2}}}{{PM}}} (2)

Από τα όμοια τρίγωνα BPM, BSA, \displaystyle \dfrac{{PM}}{x} = \dfrac{{BP}}{{BS}} = \dfrac{{BS}}{{2d}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
PM = \dfrac{{BS \cdot x}}{{2d}}\\ 
\\ 
B{S^2} = 2d \cdot BP 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \left\{ \begin{array}{l} 
PM = \dfrac{{x\sqrt {{x^2} + {d^2}} }}{{2d}}\\ 
\\ 
BP = \dfrac{{{x^2} + {d^2}}}{{2d}} 
\end{array} \right.

Αντικαθιστώντας στη (2) \displaystyle PT = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {d^2}} } \right)}^3}}}{{2dx}}, απ' όπου βρίσκω με τη βοήθεια παραγώγων ότι

παρουσιάζει για \boxed{x = \frac{{d\sqrt 2 }}{2}} ελάχιστη τιμή ίση με \boxed{P{T_{\min }} = \frac{{3\sqrt 3 d}}{4}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4645
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 13, 2019 9:11 pm

Καλησπέρα σε όλους. Το προσέγγισα εντελώς διαφορετικά από τον Γιώργο, αλλά βρίσκω το ίδιο αποτέλεσμα.
Αφού το έχει βρει ο Γιώργος, αυτό αποτελεί εγγύηση ορθότητας και γλυτώνω την επαλήθευση με βοήθεια λογισμικού...

13-11-2019 Γεωμετρία.jpg
13-11-2019 Γεωμετρία.jpg (20.61 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

Στα BKP, BTK είναι  \displaystyle PK = BK \cdot \varepsilon \varphi \varphi ,\;\;{\rm T}{\rm K} = {\rm B}{\rm K} \cdot \sigma \varphi \varphi , οπότε

 \displaystyle PT = BK\left( {\varepsilon \varphi \varphi  + \sigma \varphi \varphi } \right) = \frac{{BS}}{2}\left( {\varepsilon \varphi \varphi  + \sigma \varphi \varphi } \right) =

 \displaystyle = \frac{d}{{2\sigma \upsilon \nu \varphi }}\left( {\varepsilon \varphi \varphi  + \sigma \varphi \varphi } \right) = \frac{d}{2}\left( {\frac{{\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }} + \frac{1}{{\eta \mu \varphi }}} \right) =

 \displaystyle  = \frac{d}{2}\left( {\frac{1}{{\eta \mu \varphi  \cdot \sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }}} \right) = \frac{d}{2}\left( {\frac{1}{{\eta \mu \varphi  - \eta {\mu ^3}\varphi }}} \right) , με  \displaystyle 0 < \varphi  < \frac{\pi }{2}

Το PT παρουσιάζει ελάχιστο, όταν η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = \eta \mu x - \eta {\mu ^3}x,\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right) λάβει μέγιστη τιμή.

Έχει παράγωγο  \displaystyle f'\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x\left( {1 - 3\eta {\mu ^2}x} \right) , που μηδενίζεται όταν  \displaystyle \eta \mu x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} , τιμή για την οποία παρουσιάζει μέγιστο.

Οπότε  \displaystyle P{T_{\min }} = \frac{d}{2}\left( {\frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{9}}}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \cdot d .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 14, 2019 12:51 am

Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το A ( σχήμα) και ας είναι M το σημείο τομής των BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT.

Αν S\left( {2s,0} \right)\,\,\,,\,\,B\left( {0,2b} \right) με 0 < s < 2b\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2b = d ( θετική σταθερά) θα είναι:

M\left( {s,b} \right) και συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας PT , \boxed{\lambda  = \frac{s}{b}}.

\boxed{PT:\,\,y - b = \frac{s}{b}\left( {x - s} \right)}

Για y = 2b\,\,\,,\,\,T:\,\,\left( {\dfrac{{{b^2} + {s^2}}}{s},2b} \right) , ενώ για x = 0\,\,,\,\,P:\,\,\left( {0,\dfrac{{{b^2} + {s^2}}}{b}} \right),

Έτσι \boxed{P{T^2} = f(s) = \frac{{{{\left( {{b^2} + {s^2}} \right)}^3}}}{{{b^2}{s^2}}}}
Ελαχιστοποίηση τμήματος_KARKAR_Αναλυτική.png
Ελαχιστοποίηση τμήματος_KARKAR_Αναλυτική.png (17.25 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
Μετασχηματίζω για ευκολία πράξεων : \left\{ \begin{gathered} 
  {s^2} = x \hfill \\ 
  {b^2} = a \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και έχω αντίστοιχα

g(x) = \dfrac{{{{\left( {a + x} \right)}^3}}}{{ax}},\,\,g'(x) = \dfrac{{{{\left( {x + a} \right)}^2}\left( {2x - a} \right)}}{{a{x^2}}}. Η g παρουσιάζει ελάχιστο για x = \dfrac{a}{2}

το g\left( {\dfrac{a}{2}} \right) = \dfrac{{27a}}{4} που λόγω των μετασχηματισμών είναι \dfrac{{27a}}{4} = \dfrac{{27{b^2}}}{4} = \dfrac{{27{d^2}}}{{16}}

Οπότε : \boxed{P{T_{MIN}} = \frac{{\sqrt {27} d}}{4}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9344
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 14, 2019 9:17 am

Υπάρχει ευκολότερος τρόπος για τον υπολογισμό του τελικού τύπου απ΄ότι στην προηγούμενή μου ανάρτηση:
Ελαχιστοποίηση τμήματος.Κ.png
Ελαχιστοποίηση τμήματος.Κ.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων PTB, BSA και BSA, BPM παίρνω:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
PT = \dfrac{{BP \cdot PS}}{x}\\ 
\\ 
BP = \dfrac{{B{S^2}}}{{2d}} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{B{S^2} = {x^2} + {d^2}} \boxed{PT = \frac{{{{(\sqrt {{x^2} + {d^2}} )}^3}}}{{2xd}}}

Σήμερα το πρωί πρόσεξα ότι η άσκηση είναι σε φάκελο Γυμνασίου. Θα ήθελα να δω μία λύση εντός φακέλου. Πώς μπορούμε να αποφύγουμε την παράγωγο;


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11621
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 14, 2019 9:56 am

Ουουου ! Γιώργο τώρα που το λες το βλέπω κι εγώ . Το θέμα βέβαια είναι για
τον φάκελο των Seniors και παρακαλώ να μεταφερθεί εκεί :oops:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης