Θέση μεγίστου

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1108
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Θέση μεγίστου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 16, 2019 7:39 pm

Καλησπέρα.
Ας θεωρήσουμε την παράσταση \Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx} όπου τα a,b είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί

ενώ το x μεταβάλλεται στο διάστημα \left ( 0 ,\pi  \right ).

Να βρεθεί η τιμή του x που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση \Pi \left ( x \right ).
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θέση μεγίστου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 16, 2019 8:09 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Οκτ 16, 2019 7:39 pm
Καλησπέρα.
Ας θεωρήσουμε την παράσταση \Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx} όπου τα a,b είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί

ενώ το x μεταβάλλεται στο διάστημα \left ( 0 ,\pi  \right ).

Να βρεθεί η τιμή του x που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση \Pi \left ( x \right ).
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Για x στο διάστημα \left ( 0 ,\pi  \right )

είναι 1\geq \sin x> 0
Ετσι

\dfrac{a\cdot sinx}{b+\sin x}\leq a \dfrac{b+ \sin x- b}{b+sinx}\leq a(1-\dfrac{b}{b+\sin x}) \leq \dfrac{ab}{b+1}

με ισότητα για

\sin x=1
συμπλήρωμα.Εβαλα το ημίτονο που έλειπε.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Πέμ Οκτ 17, 2019 9:10 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4436
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Θέση μεγίστου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Οκτ 16, 2019 10:21 pm

Καλησπέρα σε όλους. Δυο ακόμα απαντήσεις στο πρόβλημα του Γιώργου.


Λήμμα(τάκι)

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right):\;\;A \to \left( {0,\; + \infty } \right) παρουσιάζει μέγιστο στο  \displaystyle {x_0} \in A , όταν η  \displaystyle \frac{1}{{f\left( x \right)}} παρουσιάζει ελάχιστο στο  \displaystyle {x_0} \in A .

Απόδειξη:
Έστω ότι η  \displaystyle \frac{1}{{f\left( x \right)}} παρουσιάζει ελάχιστο στο  \displaystyle {x_0} \in A , οπότε
 \displaystyle \forall x \in A \;\; \frac{1}{{f\left( x \right)}} \ge \frac{1}{{f\left( {{x_0}} \right)}} \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( {{x_0}} \right) , άρα η  \displaystyle f\left( x \right) παρουσιάζει μέγιστο στο  \displaystyle {x_0} \in A .

1η λύση:

Η συνάρτηση  \displaystyle \Pi \left( x \right) = \frac{{a\cdotsinx}}{{b + sinx}},\;\;x \in \left( {0,\;\pi } \right) παρουσιάζει μέγιστο, όταν η συνάρτηση  \displaystyle \frac{1}{{\Pi \left( x \right)}} = \frac{{b + sinx}}{{a\cdotsinx}},\;\;x \in \left( {0,\;\pi } \right) παρουσιάζει ελάχιστο.

Είναι  \displaystyle \frac{{b + sinx}}{{a\cdotsinx}} = \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{{sinx}} + \frac{1}{a} \ge \frac{{b + 1}}{a} , με το ίσον όταν  \displaystyle x = \frac{\pi }{2} .


2η λύση:
Η συνάρτηση  \displaystyle \Pi \left( x \right) = \frac{{a\cdotsinx}}{{b + sinx}},\;\;x \in \left( {0,\;\pi } \right) είναι παραγωγίσιμη με  \displaystyle \Pi '\left( x \right) = \frac{{a\cdotb\cos x}}{{{{\left( {b + sinx} \right)}^2}}},\;\;x \in \left( {0,\;\pi } \right) .
Με πίνακα προσήμων της παραγώγου της, εύκολα, βλέπουμε ότι έχει μέγιστο όταν  \displaystyle x = \frac{\pi }{2} .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8515
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θέση μεγίστου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 17, 2019 9:30 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Οκτ 16, 2019 7:39 pm
Καλησπέρα.
Ας θεωρήσουμε την παράσταση \Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx} όπου τα a,b είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί

ενώ το x μεταβάλλεται στο διάστημα \left ( 0 ,\pi  \right ).

Να βρεθεί η τιμή του x που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση \Pi \left ( x \right ).
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα σε όλους!

Θέτω \displaystyle y = \frac{{a\sin x}}{{b + \sin x}} \Leftrightarrow \sin x = \frac{{by}}{{a - y}}, y\ne a (*) κι επειδή \displaystyle 0 < \sin x \le 1, θα είναι

\displaystyle 0 < \frac{{by}}{{a - y}} \le 1 \Rightarrow 0 < y < a και \displaystyle by \le a - y \Leftrightarrow y \le \frac{a}{{b + 1}} με την ισότητα να επιτυγχάνεται για \displaystyle x = \frac{\pi }{2}

(*) Αν y=a, τότε a=0 ή b=0 που είναι άτοπο αφού a, b>0.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1108
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Θέση μεγίστου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Οκτ 21, 2019 9:06 am

Καλημέρα! Σταύρο και Γιώργηδες σας ευχαριστώ για την κάλυψη του θέματος. Παρόμοια λύση, συνοπτικά

Θέτω sinx=y ... 0< y\leq 1 . Η \dfrac{ay}{b+y} γίνεται μέγιστη στο μέγιστο της \dfrac{y}{b+y} κι' αυτή στο ελάχιστο της \dfrac{b+y}{y}=\dfrac{b}{y}+1

δηλ. όταν το sinx=y γίνεται μέγιστο , άρα για x=\dfrac{\pi }{2}.

Το παρόν ''εμφανίστηκε'' για την υποστήριξη άλλου θέματος.Φιλικά , Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης