Μέγιστος τοίχος

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10758
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστος τοίχος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 09, 2019 12:28 pm

Μέγιστος  τοίχος.png
Μέγιστος τοίχος.png (22.12 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC έχει πλευρές : AB=AC=5 ,BC=6 . Σημείο S κινείται επί της AC .

Ονομάζω P,T τις προβολές του S επί των AB,BC αντίστοιχα . Υπολογίστε το : (BPST)_{max}

Παρακαλώ , δημοσιεύστε την λύση σας , μόνον εφόσον έχετε βρει το τελικό αποτέλεσμα :mrgreen:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστος τοίχος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 09, 2019 4:43 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 12:28 pm
Μέγιστος τοίχος.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει πλευρές : AB=AC=5 ,BC=6 . Σημείο S κινείται επί της AC .

Ονομάζω P,T τις προβολές του S επί των AB,BC αντίστοιχα . Υπολογίστε το : (BPST)_{max}

Παρακαλώ , δημοσιεύστε την λύση σας , μόνον εφόσον έχετε βρει το τελικό αποτέλεσμα :mrgreen:
Έστω PS=x, ST=y και AM, CN τα ύψη του τριγώνου. Εύκολα με Π. Θ βρίσκω AM=4,

οπότε (ABC)=12 και στη συνέχεια \displaystyle CN = \frac{{24}}{5},AN = \frac{7}{5}.
Μέγιστος τοίχος.β.png
Μέγιστος τοίχος.β.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
\displaystyle \frac{y}{4} = \frac{{CT}}{3} \Leftrightarrow CT = \frac{{3y}}{4} \Rightarrow (STC) = \frac{{3{y^2}}}{8} και ομοίως \displaystyle (APS) = \frac{{7{x^2}}}{{48}}

Αλλά, \displaystyle (ABC) = (ABS) + (BSC) \Leftrightarrow 12 = \frac{{5x}}{2} + \frac{{6y}}{2} \Leftrightarrow y = \frac{{24 - 5x}}{6} \Rightarrow (STC) = \frac{{{{(24 - 5x)}^2}}}{{96}}

\displaystyle (BPST) = 12 - (APS) - (STC) = \frac{1}{{32}}( - 13{x^2} + 80x + 192) =  - \frac{{13}}{{32}}{\left( {x - \frac{{40}}{{13}}} \right)^2} + \frac{{128}}{{13}} \le \frac{{128}}{{13}}

που παρουσιάζει μέγιστο για \boxed{x=\frac{40}{13}} ίσο με \boxed{(BPST)_{max}=\dfrac{128}{13}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6664
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστος τοίχος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 10, 2019 2:21 pm

Το τετράπλευρο BTSP είναι εγγράψιμο και ο κύκλος του τέμνει ακόμα την AC στο E.

Θέτω TC = x\,\,,\,\,AP = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS = a\,\,,\,\,SE = b\,\,,EA = c .

Το τετράπλευρο BTSP γίνεται μέγιστο όταν το άθροισμα των

2{E_1} = 2(TCS)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2{E_2} = 2(PSA) γίνει ελάχιστο .
Μέγιστος τοίχος.png
Μέγιστος τοίχος.png (18.33 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές
Αλλά με {h_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h_2} τα ύψη προς τις υποτείνουσες των πιο πάνω τριγώνων έχω:

2{E_1} + 2{E_2} = a{h_1} + (b + c){h_2} = a|{h_1} - {h_2}| + 5{h_2} που γίνεται ελάχιστο αν

{h_1} = {h_2}  \Rightarrow PT//AC \Rightarrow \boxed{5x = 6y}\,\,(1).

Αλλά SC + SA = 5 \Rightarrow \dfrac{x}{{\cos C}} + \dfrac{y}{{\cos A}} = 5 \Rightarrow \boxed{7x + 15y = 21}\,\,(2)

Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) έχω: \boxed{x = \frac{{14}}{{13}}\,\,}\, Το μέγιστο τότε τετράπλευρο

Ισοδυναμεί με το \boxed{\left( {ABT} \right) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {6 - \frac{{14}}{{13}}} \right) = 12 - \frac{{28}}{{13}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης