Ώρα συνεφαπτομένης

KARKAR · #1

: Ώρα συνεφαπτομένης.png (5.75 KiB) Προβλήθηκε 1043 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με AB=AC

, "εγγράψαμε" το τετράγωνο KLMN

,

το οποίο καταλαμβάνει το $48\%$ της επιφανείας του . Υπολογίστε την $\cot\hat{A}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 24, 2019 2:00 pm
Ώρα συνεφαπτομένης.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , "εγγράψαμε" το τετράγωνο ,

το οποίο καταλαμβάνει το $48\%$ της επιφανείας του . Υπολογίστε την $\cot\hat{A}$ .

Μία εκτός φακέλου (έτσι κι αλλιώς η άσκηση είναι εκτός φακέλου). Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και h_a

το ύψος στη βάση του ισοσκελούς.

: cot.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

$\displaystyle \frac{{LM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{x}{{{h_a}}} = \frac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{{h_a} = \frac{{ax}}{{a - x}}}$ (1)

$\displaystyle {x^2} = \frac{{48}}{{100}}(ABC) = \frac{6}{{25}}a{h_a}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {x^2} = \frac{{6{a^2}x}}{{25(a - x)}} \Leftrightarrow 25{x^2} - 25ax + 6{a^2} \Leftrightarrow x = \frac{{3a}}{5} \vee x = \frac{{2a}}{5}$

$\displaystyle \bullet$ Για $x = \dfrac{3a}{5},$ (Σχ.1), τότε $\displaystyle {h_a} = \frac{{3a}}{2}$ και $\displaystyle \cot \theta = \frac{{2{h_a}}}{a} = 3 \Rightarrow \cot A = \frac{{9 - 1}}{6} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cot A = \frac{4}{3}}$

$\displaystyle \bullet$ Για $x = \dfrac{2a}{5},$ (Σχ.2), τότε $\displaystyle {h_a} = \frac{{2a}}{3}$ και $\displaystyle \cot \theta = \frac{{2{h_a}}}{a} = \frac{4}{3} \Rightarrow \cot A = \frac{{\frac{{16}}{9} - 1}}{{\frac{8}{3}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cot A = \frac{7}{{24}}}$

Χρησιμοποιήθηκε ο τύπος: $\displaystyle \cot 2a = \frac{{{{\cot }^2}a - 1}}{{2\cot a}}$

KARKAR · #3

Ας δούμε την πρώτη από τις δύο λύσεις του Γιώργου .

: cotA.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

Φέρουμε το ύψος

. Χρειαζόμαστε μόνον το : $cot\hat{A}=\dfrac{AD}{BD}$ . Από την ομοιότητα

των τριγώνων AMC , BDC

και αν

, προκύπτει BD=3x

.

Με πυθαγόρειο θεώρημα , βρίσκουμε : $AC=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$ και $x=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$ , οπότε :

$AD=\dfrac{4a\sqrt{10}}{10} , BD=\dfrac{3a\sqrt{10}}{10}$ , συνεπώς : $cot\hat{A}=\dfrac{4}{3}$ .

Ώρα συνεφαπτομένης

Ώρα συνεφαπτομένης

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση