Μεγάλος λόγος

KARKAR · #1

: Μεγάλος λόγος.png (6.27 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

Σημείο

κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : y=2x

. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του λόγου : $\dfrac{SA}{SB}$ των αποστάσεων του

από τα σημεία A(-5,0)

και

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 8:23 pm
Μεγάλος λόγος.pngΣημείο κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του λόγου : $\dfrac{SA}{SB}$ των αποστάσεων του από τα σημεία και .

Καλησπέρα!

Έστω S(x_0,2x_0)

$SA=\sqrt{\left ( x_0+5 \right )^2+4x_0^2}$

$SB=\sqrt{\left ( x_0-3 \right )^2+4x_0^2}$

Έστω $\dfrac{SA^2}{SB^2}\leq a$ ,αρκεί να βρούμε το

.

Είναι :

$\dfrac{5x_0^2+10x_0+25}{5x_0^2-6x_0+9}\leq a\overset{a>0}{\Leftrightarrow}5x_0^2+10x_0+25\leq a\left ( 5x_0^2-6x_0+9 \right ) \Leftrightarrow 5x_0^2(a-1)-x_0(6a+10)+..\,+9a-25\geq 0$

Άρα το τριώνυμο 5x_0^2(a-1)-x_0(6a+10)+9a-25

παρουσιάζει ελάχιστο στο

οπότε :

$9a-25-\dfrac{\left ( 6a+10 \right )^2}{20(a-1)}=0\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow 9a^2-50a+25=0$
της οποίας η μεγαλύτερη ρίζα είναι η a=5

.

Άρα $max\,\,\dfrac{SA}{SB} =\sqrt{5}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 8:23 pm
Μεγάλος λόγος.pngΣημείο κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του λόγου : $\dfrac{SA}{SB}$ των αποστάσεων του από τα σημεία και .

: μεγάλος λόγος.png (20.85 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές

Αν $S(x,2x)\,\,,\,\,x \in \mathbb{R}$ θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AS} = (x + 5,2x) \hfill \\ \overrightarrow {BS} = (x - 3,2x) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{f(x) = {k^2} = {{\left( {\frac{{AS}}{{BS}}} \right)}^2} = \frac{{5({x^2} + 2x +5)}}{{5{x^2} - 6x + 9}}}$ .

Παρουσιάζει μέγιστο για x = 1

το

άρα $\boxed{{k_{\max }} = \sqrt 5 }$

Πολλά εύσημα στο νεαρό Φωτιάδη που επί της ουσίας πιο πάνω βρίσκει το σύνολο τιμών συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 8:23 pm
Μεγάλος λόγος.pngΣημείο κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του λόγου : $\dfrac{SA}{SB}$ των αποστάσεων του από τα σημεία και .

$\displaystyle {\left( {\frac{{SA}}{{SB}}} \right)^2} = \frac{{5{x^2} + 10x + 25}}{{5{x^2} - 6x + 9}} = 1 + \frac{{16(x + 1)}}{{5{x^2} - 6x + 9}} = 1 + \frac{{16(x + 1)}}{{5{{(x - 1)}^2} + 4(x + 1)}} \le 1 + \frac{{16(x + 1)}}{{4(x + 1)}} = 5$

Άρα, $\boxed{{\left( {\frac{{SA}}{{SB}}} \right)_{\max }} = \sqrt 5}$ για $\boxed{x=1}$

Μεγάλος λόγος

Μεγάλος λόγος

Re: Μεγάλος λόγος

Re: Μεγάλος λόγος

Re: Μεγάλος λόγος

Μέλη σε σύνδεση