Μεγάλος λόγος

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10573
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλος λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 11, 2019 8:23 pm

Μεγάλος  λόγος.png
Μεγάλος λόγος.png (6.27 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές
Σημείο S κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : y=2x . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του λόγου : \dfrac{SA}{SB} των αποστάσεων του S από τα σημεία A(-5,0) και B(3,0) .



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μεγάλος λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιουν 11, 2019 9:04 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 11, 2019 8:23 pm
Μεγάλος λόγος.pngΣημείο S κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : y=2x . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του λόγου : \dfrac{SA}{SB} των αποστάσεων του S από τα σημεία A(-5,0) και B(3,0) .
Καλησπέρα!

Έστω S(x_0,2x_0)

SA=\sqrt{\left ( x_0+5 \right )^2+4x_0^2}

SB=\sqrt{\left ( x_0-3 \right )^2+4x_0^2}

Έστω \dfrac{SA^2}{SB^2}\leq a ,αρκεί να βρούμε το a.

Είναι :

\dfrac{5x_0^2+10x_0+25}{5x_0^2-6x_0+9}\leq a\overset{a>0}{\Leftrightarrow}5x_0^2+10x_0+25\leq a\left ( 5x_0^2-6x_0+9 \right ) \Leftrightarrow 5x_0^2(a-1)-x_0(6a+10)+..\,+9a-25\geq 0

Άρα το τριώνυμο 5x_0^2(a-1)-x_0(6a+10)+9a-25 παρουσιάζει ελάχιστο στο 0
οπότε :

9a-25-\dfrac{\left ( 6a+10 \right )^2}{20(a-1)}=0\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow 9a^2-50a+25=0
της οποίας η μεγαλύτερη ρίζα είναι η a=5.

Άρα max\,\,\dfrac{SA}{SB} =\sqrt{5}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6456
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλος λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 11, 2019 9:20 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 11, 2019 8:23 pm
Μεγάλος λόγος.pngΣημείο S κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : y=2x . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του λόγου : \dfrac{SA}{SB} των αποστάσεων του S από τα σημεία A(-5,0) και B(3,0) .
μεγάλος λόγος.png
μεγάλος λόγος.png (20.85 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές
Αν S(x,2x)\,\,,\,\,x \in \mathbb{R} θα είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  \overrightarrow {AS}  = (x + 5,2x) \hfill \\ 
  \overrightarrow {BS}  = (x - 3,2x) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{f(x) = {k^2} = {{\left( {\frac{{AS}}{{BS}}} \right)}^2} = \frac{{5({x^2} + 2x +5)}}{{5{x^2} - 6x + 9}}} .

Παρουσιάζει μέγιστο για x = 1 το f(1) = 5 άρα \boxed{{k_{\max }} = \sqrt 5 }


Πολλά εύσημα στο νεαρό Φωτιάδη που επί της ουσίας πιο πάνω βρίσκει το σύνολο τιμών συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7975
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλος λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 12, 2019 9:45 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 11, 2019 8:23 pm
Μεγάλος λόγος.pngΣημείο S κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : y=2x . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του λόγου : \dfrac{SA}{SB} των αποστάσεων του S από τα σημεία A(-5,0) και B(3,0) .
\displaystyle {\left( {\frac{{SA}}{{SB}}} \right)^2} = \frac{{5{x^2} + 10x + 25}}{{5{x^2} - 6x + 9}} = 1 + \frac{{16(x + 1)}}{{5{x^2} - 6x + 9}} = 1 + \frac{{16(x + 1)}}{{5{{(x - 1)}^2} + 4(x + 1)}} \le 1 + \frac{{16(x + 1)}}{{4(x + 1)}} = 5

Άρα, \boxed{{\left( {\frac{{SA}}{{SB}}} \right)_{\max }} = \sqrt 5} για \boxed{x=1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης