Απομάκρυνση

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10868
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απομάκρυνση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 21, 2019 7:09 pm

Απομάκρυνση.png
Απομάκρυνση.png (7.24 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές
Τμήμα AB , μήκους 4 , είναι μεσοκάθετο σε τμήμα CD , μήκους επίσης 4 . Οι AD,CB

τέμνονται στο σημείο S . Βρείτε τύπο , ο οποίος να υπολογίζει την απόσταση του S από

το μέσο M του CD και εντοπίστε τη θέση του A , για την οποία είναι : SM=5 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6735
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απομάκρυνση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Φεβ 21, 2019 8:46 pm

Απομάκρυνση.png
Απομάκρυνση.png (34.32 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

Η Αναλυτική Γεωμετρία εδώ δίδει άμεσα το αποτέλεσμα


Με Αναλυτική Γεωμετρία , όπου αρχή των αξόνων είναι το Mκαι μοναδιαίο του οριζοντίου άξονα το \boxed{\overrightarrow i  = \frac{1}{2}\overrightarrow {MD} }

Ας θεωρήσουμε B(0,k)\,\,\,\,,k + 2 \ne 0\,,\,\,k + 4 \ne 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,k \ne 0.

Θα είναι A(0,k + 4) και οι ευθείες AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB έχουν εξισώσεις:

\left\{ \begin{gathered} 
  AD \to \frac{x}{2} + \frac{y}{{k + 4}} = 1 \hfill \\ 
  CB \to \frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{k} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{4}{{k + 2}} \hfill \\ 
  y = \frac{{k(k + 4)}}{{k + 2}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. ‘Έτσι

MS = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \Rightarrow \boxed{MS = \frac{{\sqrt {{k^4} + 8{k^3} + 16{k^2} + 16} }}{{|k + 2|}}}.

Απομάκρυνση_Πλήρης λύση.png
Απομάκρυνση_Πλήρης λύση.png (17.59 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Αν τώρα MS = 5 ο προηγούμενος τύπος μας δίδει : \left\{ \begin{gathered} 
  k =  - 1 \hfill \\ 
  k =  - 3 \hfill \\ 
  k =  - 4\sqrt 2  - 2 \hfill \\ 
  k = 4\sqrt 2  - 2 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8425
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απομάκρυνση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 22, 2019 9:50 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 21, 2019 7:09 pm
Απομάκρυνση.pngΤμήμα AB , μήκους 4 , είναι μεσοκάθετο σε τμήμα CD , μήκους επίσης 4 . Οι AD,CB

τέμνονται στο σημείο S . Βρείτε τύπο , ο οποίος να υπολογίζει την απόσταση του S από

το μέσο M του CD και εντοπίστε τη θέση του A , για την οποία είναι : SM=5 .
Έστω N η προβολή του S στην AB και AM=x, με 0<x<4 και x\ne 2 (γιατί τότε BC||AD).
Απομάκρυνση..png
Απομάκρυνση..png (8.46 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
MD||NS \Leftrightarrow \dfrac{2}{{NS}} = \dfrac{x}{{4 + BN}}\\ 
\\ 
CM||NS \Leftrightarrow \dfrac{2}{{NS}} = \dfrac{{4 - x}}{{BN}} 
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
BN = \dfrac{{8 - 2x}}{{x - 2}}\\ 
\\ 
NS = \dfrac{4}{{x - 2}} 
\end{array} \right. και \displaystyle MN = 4 - x + BN \Leftrightarrow MN = \frac{{x(4 - x)}}{{x - 2}}

Με Πυθαγόρειο τώρα, \displaystyle S{M^2} = \frac{{{x^2}{{(4 - x)}^2} + 16}}{{{{(x - 2)}^2}}} \Leftrightarrow \boxed{SM=\frac{\sqrt{x^4-8x^3+16x^2+16}}{|x-2|}}

Αν SM=5 τότε x=3, x=1 ( Οι AD,CB τέμνονται μέσα στη γωνία A\widehat MC). Από τις άλλες δύο ρίζες

(\displaystyle 2 \pm 4\sqrt 2 ) η μία απορρίπτεται γιατί είναι αρνητική και η άλλη γιατί είναι μεγαλύτερη του 4.


Σημείωση: Στον υπολογισμό θεώρησα ότι το τμήμα AB τέμνει την CD και ότι 2<x<4.

Για 0<x<2, όπου υπάρχει x-2 γράφουμε 2-x. Ο τελικός τύπος είναι ο ίδιος με απόλυτη τιμή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες