Ελληνογαλλική φιλία

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10684
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελληνογαλλική φιλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 10, 2019 2:20 pm

Σταθερό  και  .... ορθόκεντρο.png
Σταθερό και .... ορθόκεντρο.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές
\bigstarΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει σταθερό ύψος AD=7 , ενώ η βάση του BC αποτελείται από τα

μεταβλητά τμήματα BD=k και DC=3k . α) Δείξτε ότι η διάμεσος CM , διέρχεται από

σταθερό σημείο ...β) Βρείτε το k , ώστε : CM \perp AB . Η ελληνογαλλική φιλία επανέρχεται :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ελληνογαλλική φιλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Φεβ 10, 2019 8:58 pm

Καλησπέρα!

Η καθετότητα CM\perp AB στο σχήμα μου είναι μόνο για το β ερώτημα.
Το M είναι το μέσο της AB,υποτίνουσας ορθογωνίου τριγώνου.
Επίσης τα DTC και CLM είναι όμοια άρα \dfrac{DT}{ML}=\dfrac{DC}{LC}

Από τα παραπάνω έχουμε:

\dfrac{DT}{ML}=\dfrac{CD}{CL}\Leftrightarrow \dfrac{DT^2}{ML^2}=\dfrac{CD^2}{CL^2}\Leftrightarrow DT^2=\dfrac{ML^2\cdot CD^2}{CL^2}=\dfrac{\left ( MD^2-LD^2 \right )\left ( 3k \right )^2}{\left ( 3k+\dfrac{k}{2} \right )^2}=\dfrac{\left [ \left ( \dfrac{AB}{2} \right )^2 - \left (\dfrac{k}{2} \right )^2 \right ]9k^2 }{\dfrac{49k^2}{4}} =..=\dfrac{\left ( \dfrac{\left ( 7^2+k^2 \right )-k^2}{4} \right )9k^2}{\dfrac{49k^2}{4}}=\dfrac{4\cdot 49\cdot 9k^2}{49\cdot 4k^2}=9\Leftrightarrow DT=3

Άρα T σταθερό

Για το β, πρέπει ABC ισοσκελές με AB βάση άρα AC^2=AD^2+CD^2\Leftrightarrow 16k^2=9k^2+49\Leftrightarrow 7k^2=49\Leftrightarrow k=\sqrt{7}
Συνημμένα
Capture52.PNG
Capture52.PNG (27.3 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6614
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελληνογαλλική φιλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Φεβ 10, 2019 11:18 pm

Αν E το μέσο του BC θα είναι EC = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = DE = k. Έστω ακόμα G το σημείο τομής των CM και ΑΕ .

Επειδή AM = MB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = DE θα είναι :

AE// = 2DM\,\,\,(1). Ας πούμε λοιπόν S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM. Θέτω GE = 2m\,\,,\,\,m > 0 και θα είναι :

MD = 3m οπότε λόγω της (1) έχω AE = 6m \Rightarrow AG = 4m. Επειδή \dfrac{{AS}}{{SD}} = \dfrac{{AG}}{{MD}} = \dfrac{4}{3}\,\,\left( {\vartriangle ASG \approx \vartriangle DSM} \right)\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AS = 4 \hfill \\ 
  SD = 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Δηλαδή το S σταθερό σημείο του σταθερού ύψους AD = 7.

Τώρα αν CM \bot AB θα είναι DM = MA = MB = 3m και θα ισχύουν ταυτόχρονα:
Ελλημογαλλική φιλία.png
Ελλημογαλλική φιλία.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  A{B^2} = A{D^2} + D{B^2} \hfill \\ 
  \cos \theta  = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AS}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  36{m^2} = 49 + {k^2} \hfill \\ 
  \cos \theta  = \frac{7}{{6m}} = \frac{{3m}}{4} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  36{m^2} = 49 + {k^2} \hfill \\ 
  9{m^2} = 14 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

και αν διαιρέσουμε κατά μέλη προκύπτει : {k^2} + 49 = 56 \Rightarrow \boxed{k = \sqrt 7 }

Απέφυγα Θ. Μενελάου στο πρώτο ερώτημα και δύναμη σημείου στο δεύτερο αλλά και πάλι ίσως είμαι εκτός φακέλου


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1628
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ελληνογαλλική φιλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Φεβ 11, 2019 1:39 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Φεβ 10, 2019 2:20 pm
Σταθερό και .... ορθόκεντρο.png\bigstarΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει σταθερό ύψος AD=7 , ενώ η βάση του BC αποτελείται από τα

μεταβλητά τμήματα BD=k και DC=3k . α) Δείξτε ότι η διάμεσος CM , διέρχεται από

σταθερό σημείο ...β) Βρείτε το k , ώστε : CM \perp AB . Η ελληνογαλλική φιλία επανέρχεται :lol:

\displaystyle \frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{\left( {AMN} \right)}}{{\left( {MND} \right)}} = \frac{{\left( {MBN} \right)}}{{\left( {MND} \right)}} = \frac{{BQ}}{{DP}} = \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \boxed{AN = 4,ND = 3}.Άρα \displaystyle N σταθερό σημείο.

Όταν \displaystyle CM \bot AB \Rightarrow Q \equiv M και \displaystyle CDMA εγγράψιμο\displaystyle  \Rightarrow k \cdot 4k = \frac{c}{2} \cdot c \Rightarrow {c^2} = 8{k^2} = {k^2} + {7^2} \Rightarrow \boxed{k = \sqrt 7 }
σταθερό και υπολογισμός.png
σταθερό και υπολογισμός.png (16.87 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελληνογαλλική φιλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 11, 2019 12:48 pm

Αλλιώς για το β).
Ελληνογαλλική φιλία.png
Ελληνογαλλική φιλία.png (12.25 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές
Τα τρίγωνα AMS, ADB είναι όμοια, άρα \displaystyle \frac{{c/2}}{7} = \frac{4}{c} \Leftrightarrow {c^2} = 56 και με Π.Θ στο ABD, \displaystyle {k^2} = 56 - 49 \Leftrightarrow \boxed{k=\sqrt 7}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10684
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελληνογαλλική φιλία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 11, 2019 7:35 pm

Σταθερό  και  .... ορθόκεντρο.png
Σταθερό και .... ορθόκεντρο.png (17.41 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
Ο τίτλος παραπέμπει σε καρτεσιανή αντιμετώπιση του α) . Βέβαια , θεώρησα ότι για τους juniors

θεωρείται γνωστό το να βρίσκουν εξίσωση ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης