Αριθμητική Γεωμετρία

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10868
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αριθμητική Γεωμετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 25, 2018 8:45 am

Αριθμητική Γεωμετρία.png
Αριθμητική Γεωμετρία.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
Σε ευθεία θεωρούμε τμήμα B'D'=10 και τα κάθετα στα άκρα του και σε διαφορετικά ημιεπίπεδα

τμήματα B'B=8 και D'D=12 . Προεκτείνουμε το τμήμα B'D' κατά τμήμα B'A , έτσι ώστε :

\widehat{BAD}=90^0 και κατά ακέραιο τμήμα D'C , ώστε : CB-CD=4 . Υπολογίστε το (ABCD) .

Η Αγία Αικατερίνη αποτρέπει τους μη juniors , να απαντήσουν ανήμερα της γιορτής της :idea:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Αριθμητική Γεωμετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:33 pm

Πρέπει \widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=270^{\circ}

Άρα \widehat{D_{1}}+\widehat{C_{1}}+\widehat{C_{2}}+\widehat{B_{2}}+\widehat{B_{1}}+\widehat{D_{2}}=270^{\circ}

Όμως \widehat{D_{1}}+\widehat{C_{2}}=90,\widehat{C_{1}}+\widehat{B_{2}}=90 άρα \widehat{B_{1}}+\widehat{D_{2}}=90.Είναι \widehat{A_{2}}+\widehat{B_{1}}=90,\widehat{B_{1}}+\widehat{D_{2}}=90,\Leftrightarrow \widehat{A_{2}}=\widehat{D_{2}},\widehat{B_{1}}=\widehat{A_{1}} . Συμπεραίνουμε ότι τα ABB΄ και ADD΄ είναι όμοια άρα:\dfrac{A{B}'}{D{D}'}=\dfrac{B{B}'}{A{B}'+10}\Leftrightarrow \dfrac{A{B}'}{12}=\dfrac{8}{A{B}'+10}\Leftrightarrow A{B}'^{2}+10A{B}'=96\Leftrightarrow A{B}'^{2}+10A{B}'-96=0
Έχουμε: \Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma =100-4\left ( -96 \right )=484=22^{2}
Άρα A{B}'_{1,2}=\dfrac{-10\pm 22}{2}=\left \{ -16,6 \right \} επειδή A{B}'> 0 έχουμε A{B}'=6.Eφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα D'DC, BB'C και παίρνουμε : 8^{2}+\left ( 10+x \right )^{2}=\left ( d+4 \right )^{2}\Leftrightarrow 64+100+20x+x^{2}=d^{2}+8d+16\Leftrightarrow 148+20x+x^{2}=d^{2}+8d
και d^{2}=12^{2}+x^{2}=144+x^{2}
Άρα :148+20x+x^{2}=144+x^{2}+8d\Leftrightarrow 20x+4=8d\Leftrightarrow 5x+1=2d

Έτσι έχουμε:
d=\dfrac{5x+1}{2}\Leftrightarrow d^{2}=\dfrac{25x^{2}+10x+1}{4}\Leftrightarrow 144+x^{2}=\dfrac{25x^{2}+10x+1}{4}\Leftrightarrow 576+4x^{2}=25x^{2}+...10x+1\Leftrightarrow 21x^{2}+10x-575=0,\Delta =100+4*21*575=48400=220^{2},x_{1,2}=\dfrac{-10\pm 220}{2*21}
επειδή x>0 έχουμε x_{1,2}=\dfrac{-10+ 220}{2*21}=\dfrac{210}{42}=5\Leftrightarrow x=5
\left ( ABCD \right )=\left ( AB{B}' \right )+\left ( AD{D}' \right )+\left ( D{D}'C \right )+\left ( B{B}'C \right )=\dfrac{6*8}{2}+\dfrac{16*12}{2}+\dfrac{8*15}{2}+\dfrac{5*12}{2}=...24+96+60+30=210
Συνημμένα
Capture.PNG
Capture.PNG (33.45 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: sersam και 1 επισκέπτης