Παίζοντας με αριθμούς

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παίζοντας με αριθμούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Οκτ 17, 2018 11:14 am

Στον πίνακα είναι γραμμένοι 10 αριθμοί: 1,2,3,4,4,5,5,11,12,13. Με αυτούς μπορούμε να κάνουμε πράξεις δυο ειδών: είτε από οποιουσδήποτε εννιά από αυτούς να αφαιρέσουμε το 1 και στον εναπομείναντα να προσθέσουμε το 9, είτε το αντίθετο, από έναν από αυτούς να αφαιρέσουμε το 9 και στους υπόλοιπους να προσθέσουμε το 1. Επιπλέον δεν επιτρέπεται να προκύψουν αρνητικοί αριθμοί. Μπορεί άραγε, εφαρμόζοντας κάμποσες τέτοιες πράξεις, να κάνουμε όλους τους δέκα αριθμούς διαφορετικούς μεταξύ τους;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Παίζοντας με αριθμούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιουν 11, 2019 10:33 pm

Καλησπέρα!

Θεωρούμε πως υπάρχει η διαδικασία με την οποία θα προκύψουν δέκα διαφορετικοί αριθμοί .

Παρατηρούμε ότι το άθροισμα και των δέκα δεν μεταβάλλεται μετά από τις αλλαγές αφού προστίθεται και αφαιρείται το 9.

Έτσι το άθροισμά τους είναι σταθερό και ίσο με 1+2+3+4+4+5+5+11+12+13=60.

Όταν θα προκύψουν οι δέκα διαφορετικοί όλοι θα είναι μικρότεροι του 24 αφού οι 9 ελάχιστοι είναι οι 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και έτσι ο μέγιστος 60-(0+1+2+3+4+5+6+7+8)=24

Έστω a,b για τους οποίους a\equiv b(\mod10) τότε εύκολα a-9\equiv b+1(\mod10)

Έτσι θα είναι πάντα(μετά τις πράξεις) 1\equiv 11(\mod10),2\equiv 12(\mod10),3\equiv 13(\mod10),4\equiv 4(\mod10)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,5\equiv 5(\mod10)

Έτσι αν γίνουν όλοι διαφορετικοί θα ισχύει ότι:

Αν υπάρχει ο a,a<5 θα υπάρχει και ο a+10,ή ο a+20.
Αν υπάρχει ο a,10>a>4 θα υπάρχει και ο a+10 αφού a+20>24.
(a φυσικός).

Άρα το ελάχιστο άθροισμα των δέκα διαφορετικών θα είναι 0+1+2+3+4+10+11+12+13+14>60
Άρα είναι αδύνατον.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης