Μέγιστη επιτυχία

Al.Koutsouridis · #1

Για Θαλή Γ' Γυμνασίου.

Ο τριψήφιος φυσικός αριθμός

με τρία διαφορετικά ψηφία ονομάζεται "επιτυχής", αν είναι ίσος με το μέσο όρο όλων των αριθμών, που προκύπτουν με αναδιάταξη των ψηφίων του. Για παράδειγμα ο αριθμός N=481

είναι επιτυχής, αφού είναι ισούται με το μέσο όρο των αριθμών 418, 481, 148, 184, 814

και

. Να βρείτε τον μεγαλύτερο επιτυχή αριθμό. (για τον υπολογισμό του μέσου όρου μερικών αριθμών, πρέπει να διαιρέσουμε το αθροισμά τους με το πλήθος τους)

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Πρέπει
$\overline{abc}=\frac{\overline{abc}+\overline{acb}+\overline{bca}+\overline{bac}+\overline{cab}+\overline{cba}}{6}\Leftrightarrow 100a+10b+c=\frac{100\left ( 2a+2b+2c \right )+10(2b+2a+2c)+\left ( 2a+2b+2c \right )}{6}\Leftrightarrow ..100a+10b+c=\frac{222(a+b+c)}{6} \Leftrightarrow 100a+10b+c=37a+37b+37c\Leftrightarrow63a=27b+36cb\Leftrightarrow 7a=4b+3c$ .

Παρατηρούμε ότι αν a=b=c=9

που είναι η μέγιστη τιμή που μπορούν να πάρουν τα a,b,c

επαληθεύει την ισότητα αφού 7a=3b+4c

άρα ο μεγαλύτερος "επιτυχής" αριθμός είναι ο N=999

.

επαλήθευση: $999=\frac{6\cdot 999}{6}\Leftrightarrow 999=999$ που ισχύει.

*Η λύση αυτή έχει λάθος . Σας ευχαριστώ κύριε Κουτσουρίδη για την διόρθωση.

Τσιαλας Νικολαος · #3

Πρόδρομε τα ψηφία είναι διαφορετικά!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Διορθώνω:
$7a=3b+4c\Leftrightarrow 4a+3a=3b+4c\Leftrightarrow 4(a-c)=3(b-a)$
Επειδή (4,3)=1

πρέπει $3\mid a-c\Leftrightarrow a-c=\left \{ 3,6,9 \right \}$

$a-c=9\Leftrightarrow 4\cdot 9=3(b-a)\Leftrightarrow b=a+12$ άτοπο

$a-c=6\Leftrightarrow 4\cdot 6=3(b-a)\Leftrightarrow b=a+8\Leftrightarrow b=6+8+c$ άτοπο

Άρα $a-c=3\Leftrightarrow 4\cdot 3=3\left ( b-a \right )\Leftrightarrow b-a=4$
Έχουμε a=c+3

και

. Επειδή

πρέπει $c< 3\Leftrightarrow c=\left \{ 0,1,2 \right \}$ .O

θα πάρει μέγιστη τιμή αν ο

πάρει μέγιστη τιμή άρα αρχίζουμε από c=2

.

$c=2\Leftrightarrow a=5,b=9$

το οποίο τηρεί τις προϋποθέσεις άρα η μέγιστη τιμή του

είναι

.

Al.Koutsouridis · #5

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 04, 2018 4:24 pm
Διορθώνω:
Επειδή πρέπει $3\mid a-c\Leftrightarrow a-c=\left \{ 3,6,9 \right \}$

Λίγο προσοχή στη παραπάνω συνεπαγωγή!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

Κύριε Κουτσουρίδη έχετε δίκιο ,έπρεπε : $3\mid a-c\Leftrightarrow a-c=\left \{ \pm 3,\pm 6,\pm 9 \right \}$
Τις περιπτώσεις c-a=3

και

τις έχουμε ελέγξει πιο πάνω άρα μένουν οι c-a=-3

,

και

(η περίπτωση c-a=0

απορρίπτεται καθώς αυτή σημαίνει a=c

το οποίο είναι αντίθετο με την υπόθεση).

$a-c=-9\Leftrightarrow -36=3(b-a) \Leftrightarrow a=b+12$ άτοπο

$a-c=-6\Leftrightarrow -24=3(b-a) \Leftrightarrow a=b+8 \Leftrightarrow b+8-c=-6 \Leftrightarrow c=14+b$ άτοπο

$a-c=-3\Leftrightarrow -12=3(b-a) \Leftrightarrow a=b+4 \Leftrightarrow b+4-c=-3 \Leftrightarrow c=7+b$ άρα . Παίρνουμε ώστε να είναι ελπίζω αυτή τη φορά να το βρήκα .

Al.Koutsouridis · #7

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 04, 2018 7:29 pm
Κύριε Κουτσουρίδη έχετε δίκιο ,έπρεπε : $3\mid a-c\Leftrightarrow a-c=\left \{ \pm 3,\pm 6,\pm 9 \right \}$
Τις περιπτώσεις και τις έχουμε ελέγξει πιο πάνω άρα μένουν οι , και (η περίπτωση απορρίπτεται καθώς αυτή σημαίνει το οποίο είναι αντίθετο με την υπόθεση).
$a-c=-9\Leftrightarrow -36=3(b-a) \Leftrightarrow a=b+12$ άτοπο

$a-c=-6\Leftrightarrow -24=3(b-a) \Leftrightarrow a=b+8 \Leftrightarrow b+8-c=-6 \Leftrightarrow c=14+b$ άτοπο

$a-c=-3\Leftrightarrow -12=3(b-a) \Leftrightarrow a=b+4 \Leftrightarrow b+4-c=-3 \Leftrightarrow c=7+b$ άρα . Παίρνουμε ώστε να είναι ελπίζω αυτή τη φορά να το βρήκα .

Μέγιστη επιτυχία

Μέγιστη επιτυχία

Re: Μέγιστη επιτυχία

Re: Μέγιστη επιτυχία

Re: Μέγιστη επιτυχία

Re: Μέγιστη επιτυχία

Re: Μέγιστη επιτυχία

Re: Μέγιστη επιτυχία

Μέλη σε σύνδεση