Φυσικοί σε αναδρομική σχέση
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15746
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Φυσικοί σε αναδρομική σχέση
Έστω πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε ο είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του .
Για φυσικό ορίζουμε .
α) Δείξτε ότι για κάθε ο είναι φυσικός.
β) Βρείτε όλους τους για τους οποίους ο είναι πολλαπλάσιο του .
To α) είμαι βέβαιος ότι το έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Προσθέτω το β) ως απλή ασκησούλα.
Για φυσικό ορίζουμε .
α) Δείξτε ότι για κάθε ο είναι φυσικός.
β) Βρείτε όλους τους για τους οποίους ο είναι πολλαπλάσιο του .
To α) είμαι βέβαιος ότι το έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Προσθέτω το β) ως απλή ασκησούλα.
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Φυσικοί σε αναδρομική σχέση
α) Για κάθε θετικό ακέραιο είναι:
οπότε
.
Επειδή οι αριθμοί και είναι θετικοί ακέραιοι, από τη σχέση και την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής έπεται άμεσα ότι ο αριθμός είναι θετικός ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο
β) Από τη σχέση προκύπτει ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει η ισοδυναμία
Επειδή ο δε διαιρεί τον
Επειδή ο διαιρεί τον
Επομένως, ο διαιρεί τον αν και μόνο αν ο είναι περιττός.
οπότε
.
Επειδή οι αριθμοί και είναι θετικοί ακέραιοι, από τη σχέση και την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής έπεται άμεσα ότι ο αριθμός είναι θετικός ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο
β) Από τη σχέση προκύπτει ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει η ισοδυναμία
Επειδή ο δε διαιρεί τον
Επειδή ο διαιρεί τον
Επομένως, ο διαιρεί τον αν και μόνο αν ο είναι περιττός.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης