Εξίσωση στους φυσικούς

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13350
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εξίσωση στους φυσικούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 08, 2024 11:33 am

Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους a, b, c ώστε 2^a+2^b+2^c=168.



Λέξεις Κλειδιά:
Nikitas K.
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikitas K. » Δευ Απρ 08, 2024 4:21 pm

Καλησπέρα,

Μετατρέπουμε τον αριθμό 168 στη δυαδική του αναπαράσταση με τον παρακάτω αλγόριθμο:

168~mod~2=0
84~mod~2~=0
42~mod~2~=0
21~mod~2 ~ =1
10~mod~2~=0
5~mod~2~~=1
2~mod~2~~=0
1~mod~2~~=1

Οπότε, ο αριθμός 168 στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αναπαρίσταται ως:
168 = (10101000)_2 = 2^7+2^5+2^3

Λόγω, ότι στην πρόσθεση ισχύει η ιδιότητα της αντιμεταθετικότητας προκύπτουν οι παρακάτω λύσεις:
\displaystyle  (a,b,c)\in\{ (3,5,7),(3,7,5),(5,3,7),(5,7,3),(7,3,5)(7,5,3)\}


Νικήτας Κακούλλης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4771
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Απρ 09, 2024 12:30 am

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι \displaystyle{a\geq b\geq c}

(1) Αν \displaystyle{a=b=c}, τότε: \displaystyle{3.2^a =168\Rightarrow 2^a = 56}, που είναι αδύνατη.

(2) Αν \displaystyle{b=c} και \displaystyle{a\neq c} τότε : \displaystyle{2^a +2.2^b =168\Rightarrow 2^b(2^{a-b}+2)=168\Rightarrow 2^{b+1} (2^{a-b-1}+1)=2^3 . 21}
Αν ήταν τώρα \displaystyle{a-b-1=0} , τότε θα είχαμε \displaystyle{2^{b+1} . 2 =2^3 .21\Rightarrow 2^{b+1}=2^2 .21, } που είναι αδύνατη.
Αν πάλι ήταν \displaystyle{a-b-1\neq 0} , τότε επειδή ο αριθμός μέσα στην παρένθεση είναι περιττός, θα πρέπει: \displaystyle{b+1=3 , 2^{a-b-1}+1=21}
Άρα \displaystyle{b=2 , 2^{a-3}=20} , που και πάλι είναι αδύνατον.

(3) Αν \displaystyle{a\neq c , b\neq c}, τότε από την δοσμένη σχέση έχουμε:
\displaystyle{2^c (2^{a-c}+2^{b-c}+1)=2^3 .21}
Ο αριθμός μέσα στην παρένθεση είναι περιττός, άρα πρέπει: \displaystyle{2^c =2^3} και \displaystyle{2^{a-c}+2^{b-c}=20}
Άρα: \displaystyle{c=3} και \displaystyle{2^{a-3}+2^{b-3}=20\Rightarrow 2^{b-3}(2^{a-b}+1)=20 \Rightarrow 2^{b-3} =2^2 , 2^{a-b}+1=5}
Άρα: \displaystyle{b-3=2 , 2^{a-b}=4}.
Άρα: \displaystyle{b=5 ,   2^{a-5}=2^2 }
Άρα: \displaystyle{b=5 , a=7}

Συνεπώς \displaystyle{a=7 , b=5 , c=3}

Ομοίως αν οι αριθμοί \displaystyle{a , b , c} έχουν διαφορετική διάταξη, παίρνουμε τις αντίστοιχες τιμές τους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 1 επισκέπτης