τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

giannimani
Δημοσιεύσεις: 241
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am

Έστω P η προβολή του ορθόκεντρου H ενός τριγώνου ABC στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή A. Αν M το μέσο της πλευράς BC, να αποδείξετε ότι MA=MP.
proj_orthocenter_to_tangent.png
proj_orthocenter_to_tangent.png (47.41 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13618
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 29, 2024 12:10 pm

giannimani έγραψε:
Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am
Έστω P η προβολή του ορθόκεντρου H ενός τριγώνου ABC στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή A. Αν M το μέσο της πλευράς BC, να αποδείξετε ότι MA=MP.
proj_orthocenter_to_tangent.png
Αν O είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε OA//HP. Από το M φέρνω παράλληλη στην εφαπτομένη που

τέμνει τις PH, AO στα L, N αντίστοιχα.
Ε.Μ.25.png
Ε.Μ.25.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές
Επειδή τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς την BC και το M είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου, το A'

θα είναι συμμετρικό του H ως προς M, άρα LM=MN. Εύκολα τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα PLM, ANM

είναι ίσα, απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10197
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 29, 2024 1:05 pm

giannimani έγραψε:
Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am
Έστω P η προβολή του ορθόκεντρου H ενός τριγώνου ABC στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή A. Αν M το μέσο της πλευράς BC, να αποδείξετε ότι MA=MP.
proj_orthocenter_to_tangent.png
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25_oritzin.jpg
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25_oritzin.jpg (29.99 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές
O Το κέντρο του κύκλου , N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L τα μέσα των HA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PA. Το τετράπλευρο ANMO είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι MN \bot PA και αναγκαστικά θα διέρχεται από το μέσο του PA. Συνεπώς MA = MP


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2533
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 29, 2024 10:32 pm

giannimani έγραψε:
Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am
Έστω P η προβολή του ορθόκεντρου H ενός τριγώνου ABC στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή A. Αν M το μέσο της πλευράς BC, να αποδείξετε ότι MA=MP.
proj_orthocenter_to_tangent.png
Θεωρώ τον κύκλο \Omega του Euler του τριγώνου ABC τότε H\Omega =O\Omega,AJ=JA,και στο τραπέζιο PHOA η ευθεία M\Omega J, είναι η διάμεσος του Αρα PH//AO//M\Pi και το τρίγωνο MPA είναι ισοσκελές
Συνημμένα
Tα εργαλεία κάνουν το μάστορα.png
Tα εργαλεία κάνουν το μάστορα.png (22.76 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
giannimani
Δημοσιεύσεις: 241
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Τετ Οκτ 30, 2024 9:11 am

Έστω A', H' τα συμμετρικά των A, H ως προς το μέσο M. Είναι γνωστό ότι:

Το συµµετρικό H' του ορθόκεντρου του τριγώνου ABC ως προς το µέσο M της πλευράς
BC, ανήκει στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου, και είναι το αντιδιαµετρικό της
κορυφής A του τριγώνου.


Ως εκ τούτου, HP \parallel OA (κάθετες στην ίδια ευθεία) και A'H \parallel AH' (από το παραλληλόγραμμο AHA'H'),
δηλαδή, τα σημεία A', H και P ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο APA', η PM διάμεσος στην υποτείνουσα, οπότε PM=\frac{1}{2}AA'=AM.
proj_orthocenter_to_tangent_sol.png
proj_orthocenter_to_tangent_sol.png (45.25 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2939
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Νοέμ 03, 2024 1:17 am

giannimani έγραψε:
Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am
Έστω P η προβολή του ορθόκεντρου H ενός τριγώνου ABC στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή A. Αν M το μέσο της πλευράς BC, να αποδείξετε ότι MA=MP.
proj_orthocenter_to_tangent.png
Θεωρούμε CQ \bot AP , BL \bot CQ και MZ \bot BL.Τότε PQLN ορθογώνιο και MZ μεσοκάθετη της BL

Λόγω των εγγράψιμμων BHND,AEHP,BELC οι ροζ γωνίες είναι ίσες ,άρα P,E,L συνευθειακά.

Συνεπώς ,λόγω χορδής –εφαπτόμενης ,του εγγράψιμμου  BELC και της  QP//BL ,οι πράσινες γωνίες

είναι ίσες,άρα  APBL ισοσκελές τραπέζιο,επομένως η MZ είναι μεσοκάθετη και της AP ,άρα MA=MP
Τα εργαλεία κάνουν το μάτορα 25.png
Τα εργαλεία κάνουν το μάτορα 25.png (54.18 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης