Από πολλαπλάσια του 3 σε πολλαπλάσια του 7

[Mihalis_Lambrou]

Πόσοι από τους αριθμούς

,

,

,

,





είναι πολλαπλάσια του ;

Δεν χρειάζεται να ξέρει κανείς, και δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει, τον τύπο για το άθροισμα των όρων γεωμετρικής προόδου.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Πόσοι από τους αριθμούς

,

,

,

,





είναι πολλαπλάσια του ;

Δεν χρειάζεται να ξέρει κανείς, και δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει, τον τύπο για το άθροισμα των όρων γεωμετρικής προόδου.

Παρατηρούμε ότι το πρώτο πολλαπλάσιο του είναι ο αριθμός:

, (που ισούται με )

διότι, εύκολα διαπιστώνουμε ότι κανείς από τους αριθμούς :

δεν είναι πολλαπλάσιος του .

Συνεπώς, ο επόμενος κατά σειρά αριθμός μας που είναι πολλαπλάσιος του είναι ο:

, (που ισούται με : )

Ο τρίτος κατά σειρά, είναι ο:

, (που ισούται με:

.....
.....
.....

Ο τελευταίος κατά σειρά είναι ο:



Συνεπώς το πλήθος που ζητάμε είναι

[Nikitas K.]

Το μοτίβο των υπολοίπων των δυνάμεων του με το είναι

Κατά την διαίρεση με το το:
πρώτο άθροισμα αφήνει υπόλοιπο
δεύτερο άθροισμα αφήνει υπόλοιπο διότι
τρίτο άθροισμα αφήνει υπόλοιπο διότι
τέταρτο άθροισμα αφήνει υπόλοιπο διότι
πέμπτο άθροισμα αφήνει υπόλοιπο διότι
έκτο άθροισμα δέν αφήνει υπόλοιπο διότι

Αφού σε κάθε περίοδο γραμμών μόνο άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του και επειδή έχουμε γραμμές, συνεπάγεται ότι αθροίσματα είναι πολλαπλάσια του

[Nikitas K.]

Η παραπάνω άσκηση στη γενική της μορφή,

διότι






Αλλιώς,





Στις πρώτες γραμμές εμφανίζονται πολλαπλάσια του καi στις υπόλοιπες γραμμές εμφανίζονται πολλαπλάσια του συνολικά είναι

Κώδικας: Επιλογή όλων

public class GeometricSeriesDivisibility {
	final static int BASE = 9, DIVISOR = 13, MAX_POW = 2024;
	final static int[] PATTERN = new int[DIVISOR - 1];
	public static void main(String[] args) {
		for (int i = 0; i < PATTERN.length; i++)
			PATTERN[i] = (int) Math.pow(BASE, i) % DIVISOR;
		int sum = 0, quantity = 0, leq_quantity = 0;
		for (int x : PATTERN) {
			sum += x;
			quantity = sum % DIVISOR == 0 ? ++quantity : quantity;
		}
		sum = 0;
		for (int i = 0; i < (MAX_POW + 1) % PATTERN.length; i++) {
			sum += PATTERN[i];
			leq_quantity = sum % DIVISOR == 0 ? ++leq_quantity : leq_quantity;
		}
		System.out.print(quantity * ((MAX_POW + 1) / PATTERN.length) + leq_quantity);
	}
}

[Mihalis_Lambrou]

Πολλή ωραία η ιδέα να μελετήσεις το γενικότερο πρόβλημα. Έτσι εργάζονται συχνότατα τα Μαθηματικά.

'Ομως άλλη μία φορά θα σου συστήσω να μην κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Όλα τα παραπάνω γίνονται ευκολότερα και απλούστερα γράφοντας ένα προγραμματάκι (με loop) για εύρεση των . Τόσο απλά.

Όπως σύστησα ήδη,

... Σου συνιστώ, λοιπόν, όταν γράφεις για απλά πράγματα, το στυλ γραφής πρέπει να είναι αναλόγως απλό. Να μην φαίνεται περισπούδαστο και βαθύ όταν δεν είναι.

Δίνω έμφαση στην τελευταία πρόταση. Όπως και να είναι, μπράβο για τις Μαθηματικές σου ανησυχίες.

[Nikitas K.]

Απλά να διευκρινίσω ότι στα προγράμματα δουλεύουμε σε περιορισμένο εύρος αριθμών. Π.χ. Για Java ισχύουν αυτά εδώ Primitive Data Types

Εφαρμόζοντας την τεχνική σας προγραμματιστικά στην παραπάνω άσκηση δημιουργεί πολλά αθροίσματα που ξεπερνάνε τα παραπάνω εύρη τιμών. Εξού η πολυπλοκότητα του προγράμματος.

[Mihalis_Lambrou]

Απλά να διευκρινίσω ότι στα προγράμματα δουλεύουμε σε περιορισμένο εύρος αριθμών.

To έλαβα υπόψη αυτό, γι' αυτό έχω τα και σε αυτό που προτείνω.