Γωνία εντός εξαγώνου.

Φανης Θεοφανιδης · #1

Το εξάγωνο ABCDFE

του παραπάνω σχήματος είναι κανονικό.
Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Θα δείξουμε ότι $\theta=40^o$

Στον περιγεγραμμένο κύκλο του A B C D F E

θεωρούμε το εγγεγραμμένο
κανονικό 18-γωνο που μεταξύ των κορυφών του συγκαταλέγονται τα A,B,C,D,F,E

Θεωρούμε τις κορυφές P,G

του 18-γώνου που φαίνονται στο επισυνημμένο σχήμα και ορίζουμε:

το σημείο τομής των PC,AE

το σημείο τομής των GC,FE

το σημείο τομής των QE,PG

το σημείο τομής των EU,PG

Τα τρίγωνα $\triangle EPQ$ και $\triangle EGU$ είναι ορθογώνια (

διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου των πολυγώνων)
ενώ $\angle IPQ = \angle GPC=80^o=60^o+20^o = \angle APC+\angle PAE=\angle PQI$
οπότε

η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα

του $\triangle EPQ$

Επίσης έχουμε $\angle EGP=\angle GEF=20^o$
οπότε

η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του $\triangle EGU$

Επειδή τα I,T

είναι τα μέσα των QE,EU

αντίστοιχα, θα πρέπει $PG \parallel QU$
οπότε $\angle UQC=\angle GPC=80^o$ και $\angle QUC=\angle PGC=70^o$

αυτό σημαίνει ότι τα Q,U

είναι τα

του σχήματος της εκφώνησης οπότε $\theta=\angle PCB=40^o$ $\blacksquare$