Εύρεση γωνίας

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (16.62 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μέτρο της γωνίας

.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Είναι $a+\beta=50^o$
Από την τριγωνομετρική εκδοχή
του θεωρήματος του Ceva έχουμε:

$\dfrac{\sin10^o}{\sin10^o}\cdot\dfrac{\sin a}{\sin\beta}\cdot\dfrac{\sin40^o}{\sin70^o}=1$

$\Rightarrow \sin a\cdot \sin 40^o=\sin (50^o-a) \cdot \cos 20^o$

$\Rightarrow 2\sin a\cdot \sin 20^o=\sin (50^o-a)$ $\color{red}(*)$

Για την οξεία γωνία

ισχύει

και για αυτές τις τιμές:
$\bullet$ το αριστερό μέλος της $\color{red}(*)$ είναι γνησίως αύξουσα
συνάρτηση της

$\bullet$ το δεξί μέλος της $\color{red}(*)$ είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση της

επομένως η $\color{red}(*)$ έχει μοναδική λύση την προφανή a=30^o

$\blacksquare$

Φανης Θεοφανιδης · #3

: 558.png (29.81 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

Καλησπέρα.

Μια λύση από μη μαθηματικό.

Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Εφόσον $\measuredangle OBE=\measuredangle OAE=30^{0},$ το BAEO

είναι εγγράψιμο.
Οπότε $\measuredangle EOA=\measuredangle EBA=10^{0}$ .
Έστω ότι ο κύκλος (A, AO)

τέμνει τον (O)

στο σημείο

Επειδή το τρίγωνο OAP

είναι ισόπλευρο, έπεται ότι $\measuredangle EAP=30^{0}$ .
Άρα $\measuredangle APE=10^{0}\Rightarrow \measuredangle EPO=50^{0}$ .
Είναι $\measuredangle COE=30^{0}, \measuredangle CPA=20^{0}$ .
Παρατηρώ ότι και το OECP

είναι εγγράψιμο $(\measuredangle COE=\measuredangle CPE=30^{0})$ .
Επομένως $\measuredangle ECO=\measuredangle EPO=50^{0}$ .
Συνεπώς $x=30^{0}$ .

Εύρεση γωνίας

Εύρεση γωνίας

Re: Εύρεση γωνίας

Re: Εύρεση γωνίας

Μέλη σε σύνδεση