mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 15, 2024 2:18 pm**

: Τραπεζιακή ελαχιστοποίηση.png (6.69 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος το σημείο

κινείται στην μικρή μη παράλληλη πλευρά .

Υπολογίστε το $\cos\omega$ , την στιγμή κατά την οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα : CS+SD

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 16, 2024 2:21 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 15, 2024 2:18 pm Τραπεζιακή ελαχιστοποίηση.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος το σημείο κινείται στην μικρή μη παράλληλη πλευρά .

Υπολογίστε το $\cos\omega$ , την στιγμή κατά την οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα : .

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

Αν η

τέμνει την

στο

θα δείξω ότι το

είναι το ζητούμενο σημείο.

Aν

είναι ένα άλλο σημείο του AB,

τότε $\displaystyle S'C + S'D = S'E + S'D \geqslant DE = SD + SE = SD + SC$

: Τραπεζιακή ελαχιστοποίηση.png (13.35 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Από την ομοιότητα τώρα των τριγώνων BSE, ASD

είναι $\displaystyle \frac{3}{5} = \frac{{BS}}{{6 - BS}} \Leftrightarrow BS = \frac{9}{4} \Rightarrow AS = \frac{{15}}{4}$

και με Πυθαγόρειο βρίσκω $\displaystyle ES = \frac{{15}}{4},SD = \frac{{25}}{4} \Rightarrow {(SD + SC)_{\min }} = 10$

$\displaystyle \cos \omega = \cos (180^\circ - 2\theta ) = - \cos 2\theta = 1 - 2{\cos ^2}\theta = 1 - \frac{{18}}{{25}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos \omega = \frac{7}{{25}}}$

$\displaystyle \bullet$ Επειδή ο τύπος $\displaystyle \cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta - 1$ δεν είναι γνωστός στο Γυμνάσιο, το $\cos 2\theta$

μπορεί να υπολογιστεί από νόμο συνημιτόνου στο τρίγωνο SEC.

mathematica.gr

Τραπεζιακή ελαχιστοποίηση

Τραπεζιακή ελαχιστοποίηση

Re: Τραπεζιακή ελαχιστοποίηση