Ε ! όχι κι όλα ίσα

KARKAR · #1

: Ε ! όχι κι όλα ίσα.png (11.6 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

Το

είναι ορθογώνιο με διαστάσεις : a , b , ( a > b )

. Στην πλευρά

κινείται σημείο

.

Ασφαλώς δεν θα δυσκολευτείτε να εντοπίσετε σημείο

της

, ώστε :

.

Μπορούν τα δύο αυτά τρίγωνα εκτός από ίσα εμβαδά , να έχουν και ίσες περιμέτρους ;

abgd · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 03, 2023 10:36 am
Το είναι ορθογώνιο με διαστάσεις : . Στην πλευρά κινείται σημείο .

Ασφαλώς δεν θα δυσκολευτείτε να εντοπίσετε σημείο της , ώστε : .

Μπορούν τα δύο αυτά τρίγωνα εκτός από ίσα εμβαδά , να έχουν και ίσες περιμέτρους ;

Τα τρίγωνα έχουν τα ίδια εμβαδά αν και μόνο αν $\displaystyle{ay=bx\Leftrightarrow y=\frac{b}{a}\cdot x}$

Για την εύρεση του σημείου $\displaystyle{T}$ αρκεί να φέρουμε την παράλληλο από το $\displaystyle{S}$ προς τη διαγώνιο $\displaystyle{BD}$ .

Τα τρίγωνα έχουν ίσες περιμέτρους αν και μόνο αν $\displaystyle{CT+y=CS+x}$

Από τον τύπο του Ήρωνα για το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι:

$\displaystyle{\tau(\tau-CA)(\tau-x)(\tau-CS)=\tau(\tau-CA)(\tau-y)(\tau-CT)\Leftrightarrow .... \Leftrightarrow xCS=yCT \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\boxed{\frac{CS^2}{CT^2}=\frac{b^2}{a^2}}\bf(1)}$

Όμως $\displaystyle{ CS^2=b^2+(a-x)^2}$ και $\displaystyle{ CT^2=a^2+(b-y)^2}$

Με το $\displaystyle{ y=\frac{b}{a}\cdot x}$ και αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{ \bf(1)}$ βρίσκουμε εύκολα

τη μοναδική τιμή του $\displaystyle{ x}$ για την οποία τα τρίγωνα, εκτός από ίσα εμβαδά, έχουν και ίσες περιμέτρους: $\displaystyle{ x=a}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 03, 2023 10:36 am
Ε ! όχι κι όλα ίσα.pngΤο είναι ορθογώνιο με διαστάσεις : . Στην πλευρά κινείται σημείο .

Ασφαλώς δεν θα δυσκολευτείτε να εντοπίσετε σημείο της , ώστε : .

Μπορούν τα δύο αυτά τρίγωνα εκτός από ίσα εμβαδά , να έχουν και ίσες περιμέτρους ;

Και λίγο διαφορετικά:

Για να είναι ίσα τα εμβαδά, πρέπει $\displaystyle{x.b=y.a}$ . Οπότε αν θεωρήσουμε οποιονδήποτε αριθμό $\displaystyle{n}$ μεγαλύτερο του $\displaystyle{1}$ και
πάρουμε $\displaystyle{x=\frac{a}{n} , y=\frac{b}{n}}$ , τότε τα τρίγωνα $\displaystyle{CAS}$ και $\displaystyle{CAT}$ έχουν ίσα τα εμβαδά τους.

Θα βρούμε τώρα πότε τα παραπάνω τρίγωνα έχουν και ίση την περίμετρό τους.
Αφού είναι $\displaystyle{x.b=y.a}$ θα έχουμε $\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{a}{b} =k}$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $\displaystyle{a\geq b}$ ,
οπότε $\displaystyle{k\geq 1}$ . Επίσης έχουμε $\displaystyle{x=ky , a=kb}$

Για να είναι ίσες οι περίμετροι των πιο πάνω τριγώνων, πρέπει $\displaystyle{CS + SA = CT + TA}$ . Άρα

$\displaystyle{\sqrt{b^2 +k^2 (b-y)^2 }+ky = \sqrt{k^2 b^2 +(b-y)^2 }+y \Leftrightarrow \sqrt{k^2 b^2 +(b-y)^2 } - \sqrt{b^2 + k^2 (b-y)^2 }=(k-1)y}$

Μετά από δύο υψώσεις στο τετράγωνο, τις πράξεις και την παραγοντοποίηση βρίσκουμε:

$\displaystyle{(b-y)[(k^2 +1)by(2ky+k^2 b +b) + k^2 (k^2 +1)b^2 y + (k^2 +1)b^2 y -4k^2 by^2 ]=0}$ , (1)

Αν είναι $\displaystyle{b-y\neq 0}$ τότε η (1) γράφεται μετά τις απλές πράξεις: $\displaystyle{(k^2 +1)^2 b +k(k-1)^2 y = 0}$ , το οποίο προφανώς είναι αδύνατο.

Άρα θα είναι $\displaystyle{b=y}$ (και άρα και $\displaystyle{x=a}$ ), οπότε τα μοναδικά τρίγωνα που έχουν ίδιο εμβαδόν και ίδια περίμετρο είναι τα
$\displaystyle{CAB}$ και $\displaystyle{CAD}$ , δηλαδή όταν το $\displaystyle{T}$ βρεθεί στην θέση $\displaystyle{D}$ (και το $\displaystyle{S}$ στην θέση $\displaystyle{B}$ )

Ε ! όχι κι όλα ίσα

Ε ! όχι κι όλα ίσα

Re: Ε ! όχι κι όλα ίσα

Re: Ε ! όχι κι όλα ίσα

Μέλη σε σύνδεση