Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνα

#1

Με αφορμή τα πρόσφατα θέματα του Θαλή, αλλά λίγο δυσκολότερο.

: Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνα.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC).

Με πλευρές τις AB, AC

κατασκευάζω εκτός του τριγώνου τα

τετράγωνα ABDE, ACFZ.

Αν οι

τέμνονται στο

α) να δείξετε ότι η

διχοτομεί την $B\widehat AC.$

β) Αν BC=a, EZ=d,

να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου BCZE

συναρτήσει των a,d.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 12, 2022 6:02 pm
Με αφορμή τα πρόσφατα θέματα του Θαλή, αλλά λίγο δυσκολότερο. Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνα.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Με πλευρές τις κατασκευάζω εκτός του τριγώνου τα

τετράγωνα Αν οι τέμνονται στο α) να δείξετε ότι η διχοτομεί την $B\widehat AC.$

β) Αν να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου συναρτήσει των

α) Προφανώς τα τρίγωνα EAC,ABZ

είναι ίσα και ισοσκελή,άρα BZ=EC

Ομοίως τα τρίγωνα BCZ,EBZ

Είναι ίσα Π-Γ-Π Οπότε $\hat{BEC}=\hat{BZC}=\nu ,\hat{AZB}=\hat{ABS}=45-\nu ,\hat{EBS}+\hat{BES}=45-\nu +\nu =45,\hat{ESB}=90^{0},$ δηλαδή εχουμε τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα BSC,ESZ

, $\hat{BEZ}=\hat{EZC}=45+\varphi ,\varphi =\hat{AEZ}$ Συνεπώς η ASJ

είναι μεσοκάθετος στο

,γιατί

και $ASP\perp BC$
Αρα η

είναι διχοτόμος στη γωνία $\hat{BAC}$

β) $(EBCZ)=\dfrac{a+d}{2}.\upsilon (*),\upsilon =SJ+PS=\dfrac{a}{2}+\dfrac{d}{2},$

λόγω των ορθογωνίων και ισοσκελών τριγώνων ESZ,BSC

$(*)\Rightarrow (EBCZ)=\dfrac{(a+d)^{2}}{4}$

Henri van Aubel · #3

Λίγο αλλιώς για το πρώτο ερώτημα.
Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο BCZE

είναι εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο

Αφού

, έπεται ότι το τετράπλευρο BCZE

είναι ισοσκελές τραπέζιο και άρα SB=SC.

Συνεπώς η

είναι μεσοκάθετος της BC,

άρα διχοτομεί τη γωνία $\angle BAC.$

Henri van Aubel · #4

Για το δεύτερο ερώτημα: Το

είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του ισοσκελούς τραπεζίου BCZE.

Άρα οι γωνίες $\angle SBC$ και $\angle SCB$ είναι από $45^\circ$ η καθεμία. Οπότε τα τρίγωνα $\vartriangle SBC$ και $\vartriangle ESZ$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή. Συνεπώς :

$\displaystyle \left ( BCZE \right )=\left ( SBC \right )+\left ( ESZ \right )+2\cdot \left ( ESB \right )=\frac{a^{2}}{4}+\frac{d^{2}}{4}+\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{\left ( a+d \right )^{2}}{4}$

Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνα

Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνα

Re: Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνα

Re: Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνα

Re: Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση