Τρίγωνο-136.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 202.png (9.5 KiB) Προβλήθηκε 2063 φορές

Ζητώ το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Henri van Aubel · #2

Γειά σου Φάνη με τα ωραία σου!! Δίνω μία απάντηση σε hide.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 22, 2022 9:24 pm
202.png

Ζητώ το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Έστω

το σημείο τομής της διαμέτρου A{A}'

του περίκυκλου $\left( O \right)$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ με την

, όπου $T\equiv AD\cap \left( O \right),T\ne A$ .
Το ύψος

και η διάμετρος A{A}'

είναι ισοσγώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας $\angle A$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και συνεπώς $\angle BA{A}'=\angle DAC={{19}^{0}}\overset{\angle BAD={{90}^{0}}-\left( {{30}^{0}}+{{11}^{0}} \right)={{49}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle NAE={{30}^{0}}:\left( 1 \right)$
Με $\angle NBD\equiv \angle TBC\overset{A,B,T,C\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,\angle TAC={{19}^{0}}\overset{\angle EBC={{11}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $\angle NBE={{30}^{0}}=\angle NAE\Rightarrow A,B,N,E$ ομοκυκλικά (έστω σε κύκλο $\left( K \right)$ κέντρου

Τότε $\angle NET\overset{A,B,N,E\in \left( K \right)}{\mathop{=}}\,\angle NBA={{60}^{0}}=2\cdot {{30}^{0}}=2\cdot \left( \angle NAT \right)$ $\overset{OA=OT={{R}_{O}}}{\mathop{=}}\,\angle NOT\Rightarrow O,E,T,N$ ομοκυκλικά (έστω σε κύκλο $\left( L \right)$ κέντρου

).

Τότε $\angle OLE\overset{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta -\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta }{\mathop{=}}\,2\left( \angle ONE \right)=$ $2\left( \angle ANE \right)\overset{A,B,N,E\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,2\left( \angle ABE \right)={{60}^{0}}$ και επομένως το τρίγωνο $\vartriangle OLE$ είναι ισόπλευρο (ισοσκελές με μια γωνία του εξηντάρα ) και άρα $OL=OE=LE:\left( 2 \right)$

: Τρίγωνο -136.png (35 KiB) Προβλήθηκε 2020 φορές

Είναι $\angle TOE\overset{O,E,T,N\in \left( L \right)}{\mathop{=}}\,\angle TNE\overset{A,E,N,B\in \left( K \right)}{\mathop{=}}\,\angle BAE={{49}^{0}}\overset{\angle LOE={{60}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle LOT={{11}^{0}}:\left( 3 \right)$ και με $\angle TOC\overset{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta -\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( O \right)}{\mathop{=}}\,2\left( \angle TAC \right)=2\cdot {{19}^{0}}={{38}^{0}}$ $\overset{\angle TAE={{49}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle COE={{11}^{0}}:\left( 4 \right)$

Από $\left( 3 \right),\left( 4 \right)\Rightarrow \angle LOT=\angle COE={{19}^{0}}$ και με $OT=OC={{R}_{O}},LO=LE=OE={{R}_{L}}$ τα τρίγωνα $\vartriangle OLT,\vartriangle OEC$ είναι ίσα (από το κριτήριο Π – Γ – Π ) και επειδή το $\vartriangle LOT$ είναι ισοσκελές $\left( LO=LT={{R}_{L}} \right)$ θα είναι ισοσκελές και το $\vartriangle OEC\Rightarrow \angle ECO=\angle EOC={{11}^{0}}:\left( 5 \right)$ και με $\angle OCB\overset{\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \varsigma \,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( O \right)}{\mathop{=}}\,{{90}^{0}}-\angle BAC={{90}^{0}}-{{58}^{0}}={{22}^{0}}$ θα είναι τελικά $\angle ECB=\angle \theta ={{11}^{0}}+{{22}^{0}}={{33}^{0}}$ και το ζητούμενο έχει βρεθεί .

Υ.Σ. Αγαπητέ Henri van Aubel Πράγματι το Geogebra δεν κάνει "λάθος"

μόνο που δεν λύνει συνθετικά ένα πρόβλημα

Μην το κάνουμε σαν τον άλλο φίλο cool geometry (ίσως και να τον γνωρίζεις (δεν ξέρω αν τον ξέρεις και προσωπικά)) . Είπαμε ότι δίνουμε ολοκληρωμένες απαντήσεις. Μου φαίνεται ότι μοιάζετε σαν δύο σταγόνες νερού

. Ο "δίδυμος" βέβαια δεν είναι τόσο ενεργός αυτή την περίοδο (Μπορεί να ξέχασε τον κωδικό του ;

Θα συμφωνήσω απόλυτα με τον φίλο μου Κώστα (Βήττα) ότι η τεχνητή νοημοσύνη ίσως δεν θα μπορέσει να συνθέσει ένα πρόβλημα όπως ο ανθρώπινος εγκέφαλος

Henri van Aubel · #4

Κύριε Κούτρα, καλησπέρα!!! Δεν τον γνωρίζω τον coolgeometry, ωστόσο δεν πιστεύω ότι μοιάζουμε. Πάντως η λύση μου δεν είναι ''απατεωνίστικη'' , στο χαρτί τη βρήκα τη γωνία. Απλά επειδή ήταν αργά το βράδυ, δεν έγραψα όλη τη λύση. Πάντως πολύ θα χαιρόμουν αν έβλεπα λύση από μαθητή.
Υ.Σ Η λύση σας είναι μοναδική

, αν και δεν περίμενα τίποτα λιγότερο από έναν από τους καλύτερους γεωμέτρες στον κόσμο. (δεν υπερβάλω καθόλου).

#5

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 23, 2022 7:23 am
Κύριε Κούτρα, καλησπέρα!!! Δεν τον γνωρίζω τον coolgeometry, ωστόσο δεν πιστεύω ότι μοιάζουμε. Πάντως η λύση μου δεν είναι ''απατεωνίστικη'' , στο χαρτί τη βρήκα τη γωνία. Απλά επειδή ήταν αργά το βράδυ, δεν έγραψα όλη τη λύση. Πάντως πολύ θα χαιρόμουν αν έβλεπα λύση από μαθητή.
Υ.Σ Η λύση σας είναι μοναδική , αν και δεν περίμενα τίποτα λιγότερο από έναν από τους καλύτερους γεωμέτρες στον κόσμο. (δεν υπερβάλω καθόλου).

Καλημέρα

Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια αν και για μένα είναι υπερβολικά

Υπάρχουν γίγαντες γεωμέτρες και εδω στο

ακόμα και μαθητές που αισθάνομαι νάνος μπροστά τους .

Έχει ενδιαφέρον όμως μιας και βρήκες την απάντηση στο χαρτί να απολαμβάναμε και τη λύση σου αναλυτικά

Θα σου ήμουν υπόχρεος αν το έκανες

Υ.Σ Θα σε παρακαλούσα να μου μιλάς στον ενικό

Ένας είμαι και δεν είμαι θεός ( που μίλαγε στον πληθυντικό στον εαυτό του ( κατά τας "γραφάς" ) )οταν " δημιουργούσε "

τον κόσμο

Φανης Θεοφανιδης · #6

Στάθη να είσαι πάντα καλά.
Θα ήθελα και εγώ να δω τη λύση του Henri van Aubel.

#7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 22, 2022 9:24 pm
202.png

Ζητώ το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Έστω

το περίκεντρο του ABC

και

το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου με την BE.

Έστω

ακόμα

το μέσο του

και

το σημείο τομής των BE, OM.

Προφανώς το AOF

είναι ισόπλευρο.

: Τρίγωνο-136.png (28.34 KiB) Προβλήθηκε 1951 φορές

$\displaystyle C\widehat AF = C\widehat BF = 11^\circ ,$ άρα $AD\bot OF$ και

μέσο του

Εξάλλου

οπότε $C\widehat SF=22^\circ.$

Αλλά, $\displaystyle B\widehat FC = B\widehat AC = 68^\circ \Rightarrow F\widehat CS = 90^\circ,$ άρα το OSCF

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

απ' όπου

και εύκολα τώρα $\boxed{\theta =33^\circ}$

cool geometry · #8

Ας δοθεί και μία λύση με επίλυση τριγώνου , έτσι για να υπάρχει.

Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ABE

έχουμε $\displaystyle \frac {BE}{AB}=\frac{\sin49^\circ}{\sin101^\circ}(1)$ .

Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ABC

έχουμε $\displaystyle \frac {AB}{BC}=\frac{\sin71^\circ}{\sin68^\circ}(2)$ .

Από αυτές τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε $\displaystyle \frac {BE}{BC}=\frac{\sin33^\circ}{\sin136^\circ}$

και αφού $\angle EBC=11^\circ=180^\circ-(33^\circ+136^\circ),$

θα είναι $\angle \theta =33^\circ$

#9

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 23, 2022 12:40 pm

Από αυτές τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε $\displaystyle \frac {BE}{BC}=\frac{\sin33^\circ}{\sin136^\circ}$

και αφού $\angle EBC=11^\circ=180^\circ-(33^\circ+136^\circ),$

θα είναι $\angle \theta =33^\circ$

Δεν καταλαβαίνω πώς προκύπτει το ζητούμενο. Θα ήθελα να δω όλη την απόδειξη.

cool geometry · #10

Είναι:

$\displaystyle \frac {BE}{BC}=\frac {\sin \angle BCE}{\sin \angle BEC}=\frac {\sin 33^\circ}{\sin136^\circ}$

Εφόσον έχουμε ότι $\angle EBC=11^\circ,$ θα είναι $\angle BEC=169^\circ-\angle \theta ,$

άρα θα ισχύει ότι $\displaystyle \frac {\sin \angle \theta }{\sin (169^\circ-\angle \theta)}=\frac {\sin 33^\circ}{\sin (169^\circ-33^\circ)}$

Εδώ θα εμφανίσουμε την εφαπτομένη της ζητούμενης γωνίας και θα έχουμε $\angle \theta =33^\circ$

Φανης Θεοφανιδης · #11

Μέχρι να εμφανίσεις την εφαπτομένη της ζητούμενης γωνίας, έχεις πολύ δουλειά ακόμη goolgeometry

.

cool geometry · #12

Δεν έχω πολλή δουλειά, δες παρακάτω. Και σε παρακαλώ να με λες Μιχάλη.

Έχουμε $\displaystyle \frac {\sin (169^\circ-\angle \theta)}{\sin \angle \theta}=cos 11^\circ +\frac {\sin 11^\circ}{\tan \angle \theta}$ ,

άρα $\displaystyle \frac {\sin 11^\circ}{\tan \angle \theta}=\frac {\sin 136^\circ}{\sin 33^\circ}-cos 11^\circ=\frac {\sin 11^\circ}{\tan 33^\circ}$ ,

και εφόσον $\angle \theta$ οξεία, θα έχουμε $\angle \theta =33^\circ$

#13

Δηλαδή λίγο πολύ μας λες ότι τα παρακάτω είναι βήματα που μπορούν να παραλειφθούν από την απόδειξη

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 23, 2022 4:33 pm

Έχουμε $\displaystyle \frac {\sin (169^\circ-\angle \theta)}{\sin \angle \theta}=cos 11^\circ +\frac {\sin 11^\circ}{\tan \angle \theta}$ ,

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 23, 2022 4:33 pm

$\displaystyle\frac {\sin 136^\circ}{\sin 33^\circ}-cos 11^\circ=\frac {\sin 11^\circ}{\tan 33^\circ}$ ,

και εφόσον $\angle \theta$ οξεία, θα έχουμε $\angle \theta =33^\circ$

Σηκώνω τα χέρια ψηλά! Πάντως, να επισημάνουμε, επειδή μας διαβάζουν και μαθητές, ότι σε καμία περίπτωση η δημοσίευση στο #8 δεν αποτελεί ούτε το μισό μιας ολοκληρωμένης λύσης. Έχει αναφερθεί και άλλες φορές, από άλλα μέλη ότι, όπως προβλέπει ο κανονισμός μας, οι λύσεις πρέπει να είναι ολοκληρωμένες. Νομίζω δεν είναι δύσκολο να το τηρήσουμε αυτό.

cool geometry · #14

Τι εννοείς λέγοντας ''σηκώνω τα χέρια ψηλά'' ;; Όλα αυτά που γράφω είναι σωστά. Η ανάρτηση 8 είναι μια χαρά.

Είπα σε αυτή την ανάρτηση ότι:

$\displaystyle \frac {\sin \angle BCE}{\sin \angle BEC}=\frac {\sin 33^\circ}{\sin 136^\circ}$

και αφού $\angle BCE+\angle BEC=180^\circ-11^\circ=33^\circ+136^\circ,$ θα έχω $\angle \theta =33^\circ$

Που είναι το δύσκολο;;; Γιατί με έχετε βάλει στόχο και μου πάτε κόντρα συνεχώς ;;

Φανης Θεοφανιδης · #15

Γιατί εδώ μας αρέσουν οι έξυπνοι άνθρωποι και όχι οι εξυπνάκηδες.

cool geometry · #16

Επί της ουσίας λες ότι είσαι πιο έξυπνος από εμένα, δηλαδή είσαι αλαζόνας και με μειώνεις απίστευτα (1).
Κατά δεύτερον με λες εξυπνάκια , δηλαδή είσαι αγενέστατος (2).
Αυτά.

cool geometry · #17

Πάντως, τα ευκόλως εννοούμενα παραλείπονται. Για εμένα η τριγωνομετρία είναι σαν να μου λες πόσο κάνει το 1+1.

cool geometry · #18

Και επίσης να προσθέσω ότι οι μαθητές που μας παρακολουθούν δεν μας έχουν ανάγκη για να λύσουν τις ασκήσεις(είναι υψηλού επιπέδου)

#19

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 23, 2022 7:35 pm
Πάντως, τα ευκόλως εννοούμενα παραλείπονται. Για εμένα η τριγωνομετρία είναι σαν να μου λες πόσο κάνει το 1+1.

Δεν θα ασχοληθώ με την πληρότητα ή μη των απαντήσεων. Το έχω ήδη κάνει σε άλλη ανάρτηση.

Εδώ θέλω απλώς να επισημάνω ότι η συγκεκριμένη άσκηση βρίσκεται σε φάκελο Θαλή -Ευκλείδη

Γυμνασίου. Μιλάμε λοιπόν, στην καλύτερη περίπτωση, για παιδιά που φοιτούν στο πρώτο τετράμηνο

της Γ' Γυμνασίου. Δεν νομίζω ότι η τριγωνομετρία έχει κάποια θέση εδώ.

cool geometry · #20

Κύριε Γιώργο, βάζω στοίχημα ότι το πολύ 50 παιδιά στην Ελλάδα που πηγαίνουν Γυμνάσιο, μπορούν να λύσουν αυτό το θέμα.

Τρίγωνο-136.

Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Re: Τρίγωνο-136.

Μέλη σε σύνδεση