Μεγάλες κατασκευές 81

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13518
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 81

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 25, 2022 8:35 pm

Μεγάλες  κατασκευές  81.png
Μεγάλες κατασκευές 81.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές
\bigstar Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , με κάθετες πλευρές : AB=8 , AC=6 , να "εγγραφούν"

δύο ίσοι και τρισεφαπτόμενοι κύκλοι , όπως φαίνεται στο παρατιθέμενο σχήμα .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8617
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 81

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 27, 2022 1:00 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 25, 2022 8:35 pm
Μεγάλες κατασκευές 81.png\bigstar Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , με κάθετες πλευρές : AB=8 , AC=6 , να "εγγραφούν"

δύο ίσοι και τρισεφαπτόμενοι κύκλοι , όπως φαίνεται στο παρατιθέμενο σχήμα .
Ας είναι λυμένο το πρόβλημα. Αν r, η ακτίνα καθενός από τους ίσους κύκλους τότε : KL = 2r.

Κατασκευή
Μεγάλες κατασκευές 82.png
Μεγάλες κατασκευές 82.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
Σχηματίζω το τρίγωνο IBC όπου I το σημείο τομής των διχοτόμων του \vartriangle ABC.

Σχηματίζω, έξω από το \vartriangle ABC, το ορθογώνιο BCTS με BS = CT = \dfrac{{BC}}{2}.

Οι IS,\,IT τέμνουν την BC στα D,E. Οι κάθετες στην BC στα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E τέμνουν τις IB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,IC στα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K.

Επειδή τα ορθογώνια LDEK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BSTC είναι όμοια , οι κύκλοι \displaystyle \left( {L,LD} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {K,KE} \right) είναι αυτοί που θέλω.

Παρατήρηση . Υπάρχει λύση με τριγωνομετρία και χρήση του τύπου \tan 2\theta  = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} αλλά μάλλον είναι εκτός φακέλου .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11543
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 81

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 27, 2022 10:36 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 25, 2022 8:35 pm
Μεγάλες κατασκευές 81.png\bigstar Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , με κάθετες πλευρές : AB=8 , AC=6 , να "εγγραφούν"

δύο ίσοι και τρισεφαπτόμενοι κύκλοι , όπως φαίνεται στο παρατιθέμενο σχήμα .
Κατασκευή υπό μορφή άσκησης.
Μεγάλες κατασκευές 81..png
Μεγάλες κατασκευές 81..png (17.81 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές
Έστω AD η διχοτόμος του τριγώνου. Από το D υψώνω κάθετη στη BC που τέμνει τις AC, AB στα

E, F αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα DFB, DEC είναι οι ζητούμενοι.


Αν δεν δοθεί απάντηση, δεσμεύομαι να δώσω την απόδειξη.


abgd
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 81

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Παρ Μάιος 27, 2022 11:19 am

kat81.png
kat81.png (47.44 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές
Ανάλυση

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABC, POK έχουμε:
  • \displaystyle{\frac{6-x-r}{6}=\frac{2r}{10}\Rightarrow x=6-2,2r}
  • \displaystyle{\frac{8-y-r}{8}=\frac{2r}{10}\Rightarrow y=8-2,6r}
\displaystyle{BC=10\Rightarrow x+y+2r=10\Rightarrow ... r=\frac{10}{7}} και έτσι \displaystyle x=\frac{20}{7}, \ \ y=\frac{30}{7}}

Κατασκευή

Σχεδιάζουμε τους κύκλους \displaystyle{ \left(C,\frac{20}{7}\right)} και \displaystyle{ \left(B,\frac{30}{7}\right)}

και φέρνουμε τις εφαπτομένες τους στα σημεία τομής με τις πλευρές του τριγώνου ABC.

Τα σημεία τομής τους O, K είναι τα κέντρα των ζητούμενων κύκλων.

Σχεδιάζουμε του κύκλους \displaystyle{ \left(O,\frac{10}{7}\right)} και \displaystyle{ \left(K,\frac{10}{7}\right)} .


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11543
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 81

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 31, 2022 9:40 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 27, 2022 10:36 am

Κατασκευή υπό μορφή άσκησης.
Έστω AD η διχοτόμος του τριγώνου. Από το D υψώνω κάθετη στη BC που τέμνει τις AC, AB στα

E, F αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα DFB, DEC είναι οι ζητούμενοι.


Αν δεν δοθεί απάντηση, δεσμεύομαι να δώσω την απόδειξη.
Μεγάλες κατασκευές 81.β.png
Μεγάλες κατασκευές 81.β.png (23.22 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές
Απόδειξη: Οι κύκλοι εκ κατασκευής εφάπτονται στην BC. Επιπλέον ο καθένας εφάπτεται σε μία από τις κάθετες

πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ABC. Αρκεί να δείξω ότι είναι ίσοι και εφάπτονται μεταξύ τους. Πράγματι τα

BEAD, FACD είναι εγγράψιμα κι επειδή η AD είναι διχοτόμος, προκύπτουν οι γωνίες των 45^\circ που φαίνονται

στο σχήμα. Άρα, BD=DE, CD=DF και τα τρίγωνα BDF, DCE είναι ίσα. Επομένως, οι εγγεγραμμένοι

σε αυτά κύκλοι θα είναι ίσοι και αφού εφάπτονται της EFD θα εφάπτονται και μεταξύ τους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης