Μεγάλες κατασκευές 81

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 81.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές

$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με κάθετες πλευρές : AB=8 , AC=6

, να "εγγραφούν"

δύο ίσοι και τρισεφαπτόμενοι κύκλοι , όπως φαίνεται στο παρατιθέμενο σχήμα .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 25, 2022 8:35 pm
Μεγάλες κατασκευές 81.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές : , να "εγγραφούν"

δύο ίσοι και τρισεφαπτόμενοι κύκλοι , όπως φαίνεται στο παρατιθέμενο σχήμα .

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα. Αν

, η ακτίνα καθενός από τους ίσους κύκλους τότε : KL = 2r

.

Κατασκευή

: Μεγάλες κατασκευές 82.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Σχηματίζω το τρίγωνο IBC

όπου

το σημείο τομής των διχοτόμων του $\vartriangle ABC$ .

Σχηματίζω, έξω από το $\vartriangle ABC$ , το ορθογώνιο BCTS

με $BS = CT = \dfrac{{BC}}{2}$ .

Οι $IS,\,IT$ τέμνουν την

στα

. Οι κάθετες στην

στα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ τέμνουν τις $IB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,IC$ στα $L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ .

Επειδή τα ορθογώνια $LDEK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BSTC$ είναι όμοια , οι κύκλοι $\displaystyle \left( {L,LD} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {K,KE} \right)$ είναι αυτοί που θέλω.

Παρατήρηση . Υπάρχει λύση με τριγωνομετρία και χρήση του τύπου $\tan 2\theta = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }}$ αλλά μάλλον είναι εκτός φακέλου .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 25, 2022 8:35 pm
Μεγάλες κατασκευές 81.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές : , να "εγγραφούν"

δύο ίσοι και τρισεφαπτόμενοι κύκλοι , όπως φαίνεται στο παρατιθέμενο σχήμα .

Κατασκευή υπό μορφή άσκησης.

: Μεγάλες κατασκευές 81..png (17.81 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές

Έστω

η διχοτόμος του τριγώνου. Από το

υψώνω κάθετη στη

που τέμνει τις AC, AB

στα

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα DFB, DEC

είναι οι ζητούμενοι.

Αν δεν δοθεί απάντηση, δεσμεύομαι να δώσω την απόδειξη.

abgd · #4

: kat81.png (47.44 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Ανάλυση

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABC, POK

έχουμε:

$\displaystyle{\frac{6-x-r}{6}=\frac{2r}{10}\Rightarrow x=6-2,2r}$

$\displaystyle{\frac{8-y-r}{8}=\frac{2r}{10}\Rightarrow y=8-2,6r}$

$\displaystyle{BC=10\Rightarrow x+y+2r=10\Rightarrow ... r=\frac{10}{7}}$ και έτσι $\displaystyle x=\frac{20}{7}, \ \ y=\frac{30}{7}}$

Κατασκευή

Σχεδιάζουμε τους κύκλους $\displaystyle{ \left(C,\frac{20}{7}\right)}$ και $\displaystyle{ \left(B,\frac{30}{7}\right)}$

και φέρνουμε τις εφαπτομένες τους στα σημεία τομής με τις πλευρές του τριγώνου ABC

.

Τα σημεία τομής τους O, K

είναι τα κέντρα των ζητούμενων κύκλων.

Σχεδιάζουμε του κύκλους $\displaystyle{ \left(O,\frac{10}{7}\right)}$ και $\displaystyle{ \left(K,\frac{10}{7}\right)}$ .

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 10:36 am

Κατασκευή υπό μορφή άσκησης.
Έστω η διχοτόμος του τριγώνου. Από το υψώνω κάθετη στη που τέμνει τις στα

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα είναι οι ζητούμενοι.

Αν δεν δοθεί απάντηση, δεσμεύομαι να δώσω την απόδειξη.

: Μεγάλες κατασκευές 81.β.png (23.22 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

Απόδειξη: Οι κύκλοι εκ κατασκευής εφάπτονται στην BC.

Επιπλέον ο καθένας εφάπτεται σε μία από τις κάθετες

πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ABC.

Αρκεί να δείξω ότι είναι ίσοι και εφάπτονται μεταξύ τους. Πράγματι τα

BEAD, FACD

είναι εγγράψιμα κι επειδή η

είναι διχοτόμος, προκύπτουν οι γωνίες των $45^\circ$ που φαίνονται

στο σχήμα. Άρα, BD=DE, CD=DF

και τα τρίγωνα BDF, DCE

είναι ίσα. Επομένως, οι εγγεγραμμένοι

σε αυτά κύκλοι θα είναι ίσοι και αφού εφάπτονται της EFD

θα εφάπτονται και μεταξύ τους.

Μεγάλες κατασκευές 81

Μεγάλες κατασκευές 81

Re: Μεγάλες κατασκευές 81

Re: Μεγάλες κατασκευές 81

Re: Μεγάλες κατασκευές 81

Re: Μεγάλες κατασκευές 81

Μέλη σε σύνδεση