Τετραγωνίες

KARKAR · #1

: Τετραγωνίες.png (9.36 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά AB=a

, τετραγώνου ABCD

.

Φέρουμε : $CP \perp DS$ και : $BT \perp CP$ .

α) Βρείτε την θέση του

για την οποία : $TS \perp AB$ .

β) Βρείτε την θέση του

για την οποία ελαχιστοποιείται το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 30, 2022 11:57 am
Τετραγωνίες.pngΣημείο κινείται στην πλευρά , τετραγώνου .

Φέρουμε : $CP \perp DS$ και : $BT \perp CP$ .

α) Βρείτε την θέση του για την οποία : $TS \perp AB$ .

β) Βρείτε την θέση του για την οποία ελαχιστοποιείται το τμήμα .

Χωρίς τις πράξεις και χωρίς την επίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων γιατί οι ρίζες τους είναι δύσκολες. Nομίζω ότι η άσκηση ξεφεύγει από αυτό που δικαιολογεί ο φάκελος.

Με Αναλυτική. Λύνεται και Τριγωνομετρικά αλλά δεν φαίνεται να κερδίζουμε τίποτα ουσιαστικό.

Έχουμε χωρίς βλάβη $A(0,0),\, B(1,0), \, C(1,1),\, D(0,1)$ και S(a,0)

για κάποιο

(ζητούμενο). H κλίση της

είναι $-\dfrac {1}{a}$ . Άρα (άμεσο) οι εξισώσεις των $BT,\, CP$ είναι, αντίστοιχα,

$\displaystyle{y= -\dfrac {1}{a}(x-1),\, }$ και $\displaystyle{y= a(x-1)+1}$

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε $\displaystyle{ T\left ( \dfrac {a^2-a+1}{a^2+1} ,\, \dfrac {1}{a^2+1} \right )}$

α) Αν θέλουμε $TS\perp AB$ τότε τα S,T

έχουν την ίδια τετμημένη, οπότε $\dfrac {a^2-a+1}{a^2+1} =a$ . Ισοδύναμα a^3-a^2+2a-1=0

που ως τριτοβάθμια λύνεται μεν, αλλά εδώ η ρίζα είναι δύσκολη. Πάντως $a\approx 0.569$ (με λογισμικό).

β) Eίναι $\displaystyle{ST^2= \left ( \dfrac {a^2-a+1}{a^2+1}-a \right ) ^2+\left ( \dfrac {1}{a^2+1} \right ) ^2}$ .

Το ακρότατο είναι επίπονο. Με παραγώγιση (εκτός τάξης) ανάγεται στην επίλυση της a^5-a^4+2a^3-a^2+2a-2=0

. Σταματώ εδώ γιατί δεν αξίζει το κόπο ούτε να δω αν έχω κάνει τις πράξεις σωστά.

Σχόλιο: Ως αισθητική, πιστεύω ότι είναι το είδος των ασκήσεων που πρέπει να αποφεύγουμε για να μην αποθαρρύνουμε τους μαθητές μας από τα Μαθηματικά. Περιέχει λίγες ιδέες αλλά πάμπολλες, ανιαρότατες, πράξεις.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 30, 2022 11:57 am
Τετραγωνίες.pngΣημείο κινείται στην πλευρά , τετραγώνου .

Φέρουμε : $CP \perp DS$ και : $BT \perp CP$ .

α) Βρείτε την θέση του για την οποία : $TS \perp AB$ .

Για το α)

: Τετραγωνίες.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων ASD, SBT

είναι $\displaystyle \frac{x}{{a - x}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{BT}} \Leftrightarrow BT = \frac{{(a - x)\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{x}.$

Αλλά, $\displaystyle {a^2} = BT \cdot BE \Leftrightarrow BT = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }},$ απ' όπου καταλήγω στην x^3-ax^2+2a^2x-a^3=0

και με λογισμικό βρίσκω $\boxed{x = \frac{a}{3}\left( {1 + \sqrt[3]{{\frac{{3\sqrt {69} + 11}}{2}}} - \sqrt[3]{{\frac{{3\sqrt {69} - 11}}{2}}}} \right)}$

Τετραγωνίες

Τετραγωνίες

Re: Τετραγωνίες

Re: Τετραγωνίες

Μέλη σε σύνδεση