Δεν υπάρχει τέτοιο ισοσκελές τρίγωνο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4373
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Δεν υπάρχει τέτοιο ισοσκελές τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Ιαν 14, 2022 12:49 am

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο που τα μέτρα των πλευρών του να είναι φυσικοί αριθμοί και που το εμβαδόν του
και η περίμετρός του να εκφράζονται από τον ίδιο αριθμό.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11173
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δεν υπάρχει τέτοιο ισοσκελές τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 14, 2022 10:51 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 12:49 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο που τα μέτρα των πλευρών του να είναι φυσικοί αριθμοί και που το εμβαδόν του
και η περίμετρός του να εκφράζονται από τον ίδιο αριθμό.
Καλημέρα Δημήτρη!

Έστω a η βάση του ισοσκελούς και x η καθεμία από τις ίσες πλευρές. Αν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο θα πρέπει:

\displaystyle 2x + a = \frac{a}{4}\sqrt {4{x^2} - {a^2}}  \Leftrightarrow {(8x + 4a)^2} = {a^2}(4{x^2} - {a^2}) \Leftrightarrow

\displaystyle 4(16 - {a^2}){x^2} + 64ax + {a^2}({a^2} + 16) = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{a}{2} ή \displaystyle x = \frac{{a({a^2} + 16)}}{{2({a^2} - 16)}}, a>4

Η πρώτη ρίζα απορρίπτεται γιατί είναι αρνητική. H δεύτερη απορρίπτεται αν ο a είναι περιττός γιατί δίνει αριθμητή περιττό και παρονομαστή άρτιο. Αν a=2k, ο x γράφεται:

\displaystyle x = \frac{{k(4{k^2} + 16)}}{{4{k^2} - 16}} = \frac{{k(4{k^2} - 16) + 32k}}{{4{k^2} - 16}} = k + \frac{8}{{(k - 2)(k + 2)}} \Leftrightarrow \boxed{x = k + \frac{4}{{k + 2}} + \frac{4}{{k - 2}},k > 2}

που δεν μπορεί να είναι φυσικός αριθμός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης