Το τρίτο τρίγωνο

KARKAR · #1

: Το τρίτο τρίγωνο.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

$\bigstar$ Τα εμβαδά των δύο τριγώνων φαίνονται στο σχήμα . Υπολογίστε το εμβαδόν του SAB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 06, 2021 9:14 pm
Το τρίτο τρίγωνο.png $\bigstar$ Τα εμβαδά των δύο τριγώνων φαίνονται στο σχήμα . Υπολογίστε το εμβαδόν του .

: Το τρίτο τρίγωνο.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Το

είναι τραπέζιο, άρα: $\displaystyle {(SAB)^2} = 25 \cdot 9 \Leftrightarrow$ $\boxed{(SAB)=15}$

angvl · #3

Το ίδιο βρήκα με περισσόοοοτερη ταλαιπωρία......

Συγκεκριμένα απο το σχήμα του KARKAR αφού

$AA'//BB' \Rightarrow \dfrac{AS}{SB'} = \dfrac{A'S}{SB} \Rightarrow (AS) (SB) = (A'S) (SB' ) \Rightarrow (SAB) = (A'SB')$ (αφού και οι περιεχόμενες γωνίες ανάμεσα στις πλευρές είναι ίσες)

Τα τρίγωνα AA'S

και

είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\lambda = \dfrac{5}{3}$ αρα $AA' = \dfrac{5}{3} BB'$

αρα $(AA'BB') = \dfrac{1}{2}(AA' + BB') AB = ... = \dfrac{8}{3} (ABB')$

oπότε

$25 +9 +2(SAB) = \dfrac{8}{3}(SAB) + \dfrac{8}{3} 9$ και τελικά SAB = 15

#4

Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα προσέγγιση.

: Το τρίτο τρίγωνο.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές

Έστω $\displaystyle u$ η απόσταση του $\displaystyle S$ από την $\displaystyle AB$ .

Είναι $\displaystyle \left( {SAB} \right) = \frac{{AB \cdot u}}{2}$ . Έστω $\displaystyle \left( {SAB} \right) = x,\;x > 0$ .

Έχουμε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} AA' \cdot AB = 50 + 2x \Leftrightarrow AA' = \frac{{50 + 2x}}{{AB}}\\ BB' \cdot AB = 18 + 2x \Leftrightarrow BB' = \frac{{18 + 2x}}{{AB}} \end{array} \right.$

Ως γνωστόν(*) είναι $\displaystyle u = \frac{{AA' \cdot BB'}}{{AA' + BB'}}$ άρα $\displaystyle x = \frac{{\left( {25 + x} \right) \cdot \left( {18 + 2x} \right)}}{{\left( {68 + 4x} \right)}} \Leftrightarrow x = 15$

(*) Προσπερνώ προς στιγμήν την απόδειξη, καθώς και κάποια συμπληρωματικά σχόλια που υπάρχουν στο 1ο κεφάλαιο της "Οδού Μαθηματικής Σκέψης", για να χαρούν, όσοι δεν έχουν μέχρι τώρα ασχοληθεί ή έχουν ξεχάσει την ενδιαφέρουσα απόδειξη της ιδιότητας του σημείου

, που διατυπώνεται ως εξής: "Η απόστασή του

από την

είναι ανεξάρτητη του μήκους της

". Παρατηρήστε ότι είναι ο τύπος του αρμονικού μέσου των δύο άλλων καθέτων. Σε εύλογο χρόνο θα επανέλθω με περισσότερα στοιχεία.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 06, 2021 9:14 pm
Το τρίτο τρίγωνο.png $\bigstar$ Τα εμβαδά των δύο τριγώνων φαίνονται στο σχήμα . Υπολογίστε το εμβαδόν του .

$\triangle AA'S \simeq \triangle BB'S \Rightarrow \dfrac{(AA'S)}{(BB'S)}= \dfrac{A'S^2}{SB^2} \Rightarrow \dfrac{A'S}{SB}= \dfrac{5}{3}$

Άρα $\dfrac{25+X}{9+X}= \dfrac{5}{3} \Rightarrow X=15$

: το τρίτο τρίγωνο.png (10.15 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές

nickchalkida · #6

Δίνω και μια κατασκευή απλά για να τονίσω ότι η ορθογωνιότητα των διαγωνίων δεν είναι αναγκαία.
Όπως ο Μιχάλης, ο λόγος ομοιότητας των SAA'

,

είναι ίσος με 5/3

και θα είναι

$\displaystyle{ (SAB) = {3 \over 5} \cdot 25=15 \ \ \ , \ \ \ (SAB) = {5 \over 3} \cdot 9 =15 }$

Το τρίτο τρίγωνο

Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση