Ισότητα εξ επαφής

KARKAR · #1

: Ισότητα εξ επαφής.png (14.29 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές

Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ ενός τριγώνου ABC

, τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

.

Η παράλληλη από το

προς την

, τέμνει την

στο σημείο

και τον κύκλο στο σημείο

.

Η εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει την προέκταση της

στο

. Δείξτε ότι : PQ=TC

.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλό βράδυ!

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 18, 2021 8:17 pm
Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ ενός τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

Η παράλληλη από το προς την , τέμνει την στο σημείο και τον κύκλο στο σημείο .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την προέκταση της στο . Δείξτε ότι : .

: Ισότητα εξ' επαφής.png (148.01 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Το τραπέζιο SPAC

είναι εγγεγραμμένο οπότε AP=SC=SB

Έχουμε $\widehat{AQP}=\widehat{IPS}$ ( ως εντός, εκτός και επί τα αυτά)(*)

$\widehat{IPS}=\widehat{PAS}$ (χορδής κι' εφαπτομένης με εγγεγραμμένη)

$\widehat{PAS}=\widehat{ACB}$ (βαίνουν σε ίσα τόξα), άρα $\widehat{AQP}=\widehat{ACB}$

Συνεπώς το τραπέζιο PQCT

είναι ισοσκελές με PQ=CT

.

(*) Διόρθωση αιτιολόγησης..Φιλικά, Γιώργος.

#3

: Ισότητα εξ επαφής.png (25.42 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Επειδή η

διχοτόμος της $\widehat {BAC}$ τα τόξα $\overset{\frown}{BS}$ και $\overset{\frown}{SC}$ είναι ίσα

και λόγω της παραλληλίας των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PS$ θα είναι ίσα και τα τόξα $\overset{\frown}{AP}$ και $\overset{\frown}{SC}$ .

Δηλαδή τα τόξα των χορδών BS,SC,AP

είναι ίσα ( έστω ${t_1},{t_2},{t_3}$ αντίστοιχα , ενώ το τόξο της χορδής

έστω

).

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} = \frac{{t + {t_2}}}{2} = \frac{{t + {t_1}}}{2} = \widehat {PAS} \hfill \\ \widehat {{Q_{}}} = \frac{{t + {t_1} + {t_2} - {t_3}}}{2} = \frac{{t + {t_1}}}{2} = \widehat {PAS} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{Q_{}}} \Rightarrow QP = TC$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 18, 2021 8:17 pm
Ισότητα εξ επαφής.pngΗ διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ ενός τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

Η παράλληλη από το προς την , τέμνει την στο σημείο και τον κύκλο στο σημείο .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την προέκταση της στο . Δείξτε ότι : .

Λόγω διχοτόμου και παραλληλίας είναι CS=SB=AP

άρα και οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες

Ακόμη, $\angle \omega = \angle \phi$ άρα από την προφανή ισότητα (Γ-Π-Γ) Των τριγώνων AQP,CTS

προκύπτει το ζητούμενο

: ισότητα εξ επαφής.png (22.35 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 18, 2021 8:17 pm
Ισότητα εξ επαφής.pngΗ διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ ενός τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

Η παράλληλη από το προς την , τέμνει την στο σημείο και τον κύκλο στο σημείο .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την προέκταση της στο . Δείξτε ότι : .

Η

τέμνει την

στο

Αρκεί να δείξω ότι MP=MT.

: Ισότητα εξ επαφής.Κ.png (15.59 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

$\displaystyle M\widehat PT=M\widehat PS = P\widehat AS = P\widehat AB + \dfrac{{\widehat A}}{2} =\dfrac{\overset \frown {PB}}{2}+\dfrac{\overset\frown {SC}}{2}=P\widehat TM,$ άρα MP=MT

και $\boxed{PQ=TC}$

Ισότητα εξ επαφής

Ισότητα εξ επαφής

Re: Ισότητα εξ επαφής

Re: Ισότητα εξ επαφής

Re: Ισότητα εξ επαφής

Re: Ισότητα εξ επαφής

Μέλη σε σύνδεση