Με πόσους τρόπους?
Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Με πόσους τρόπους?
Με πόσους τρόπους μπορεί να αποδείξει κανείς ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται?
Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.
Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Με πόσους τρόπους?
Ξεκινάω με τον κλασικό τρόπο.
παραλλήλων που τέμνονται από την , ομοίως και οι πράσινες. Άρα και
Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων που τέμνονται από την , ομοίως και οι πράσινες. Άρα και
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Με πόσους τρόπους?
Άλλη μία.
ίσες ως εντός εναλλάξ. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε κι επειδή τα σημεία
είναι συνευθειακά και τα θα είναι συνευθειακά. Επομένως το ταυτίζεται με το και το ζητούμενο έπεται.
Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων και το μέσο της Έχουμε και τις κόκκινες γωνίες ίσες ως εντός εναλλάξ. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε κι επειδή τα σημεία
είναι συνευθειακά και τα θα είναι συνευθειακά. Επομένως το ταυτίζεται με το και το ζητούμενο έπεται.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Με πόσους τρόπους?
Με παραλ/μμο άρα και οπότεLymperis Karras έγραψε: ↑Δευ Απρ 05, 2021 9:09 amΜε πόσους τρόπους μπορεί να αποδείξει κανείς ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται?
Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.
κ.βάρους του τριγώνου
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Με πόσους τρόπους?
Lymperis Karras έγραψε: ↑Δευ Απρ 05, 2021 9:09 amΜε πόσους τρόπους μπορεί να αποδείξει κανείς ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται?
Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.
Εστω τότε στο τρίγωνο
Οπότε στο τρίγωνο
- Συνημμένα
-
- Mε πόσους τρόπους.png (40.69 KiB) Προβλήθηκε 1141 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Με πόσους τρόπους?
Ας το δούμε και με διανύσματα:
Έστω το μέσο του . Τότε
Δηλαδή το είναι επίσης το μέσο και του .
Έστω το μέσο του . Τότε
Δηλαδή το είναι επίσης το μέσο και του .
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Re: Με πόσους τρόπους?
Αυτή τη λύση είχα κι εγώ στο μυαλό μου. Με προλάβατε
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Με πόσους τρόπους?
Καλημέρα σε όλους.
(*) Μια σχετική συζήτηση ΕΔΩ, στην οποίαν έγινε αναφορά σε παλιά σχολικά βιβλία και σε αξιώματα της Γεωμετρίας.
edit: Δεν έδωσα απάντηση στο ερώτημα του Λυμπέρη. Απλώς, θέλησα να συνδυάσω το θέμα με το, ας το πούμε, σχετικό θέμα της παραπομπής.
Με την πρώτη ευκαιρία θα ανατρέξω σε παλαιότερα (ελληνικά) βιβλία για τις αποδείξεις που έχουν δοθεί.
(*) Μια σχετική συζήτηση ΕΔΩ, στην οποίαν έγινε αναφορά σε παλιά σχολικά βιβλία και σε αξιώματα της Γεωμετρίας.
edit: Δεν έδωσα απάντηση στο ερώτημα του Λυμπέρη. Απλώς, θέλησα να συνδυάσω το θέμα με το, ας το πούμε, σχετικό θέμα της παραπομπής.
Με την πρώτη ευκαιρία θα ανατρέξω σε παλαιότερα (ελληνικά) βιβλία για τις αποδείξεις που έχουν δοθεί.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Απρ 05, 2021 7:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Με πόσους τρόπους?
Έστω το μέσο του
και το μέσο του Ομοίως αποδεικνύεται ότι είναι μέσο και της άλλης διαγωνίου.
Η είναι διάμεσος του και άρα το είναι βαρύκεντρο του τριγώνου και το μέσο του Ομοίως αποδεικνύεται ότι είναι μέσο και της άλλης διαγωνίου.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Με πόσους τρόπους?
Έστω παραλληλόγραμμο με τις συντεταγμένες των κορυφών όπως φαίνονται στο σχήμα και το σημείο τομής των διαγωνίων.
που είναι φανερά μέσο των - nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Με πόσους τρόπους?
Ακόμα μία
άρα με Θαλή
άρα με Θαλή
- Συνημμένα
-
- paral27_1 (2).png (26.15 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Με πόσους τρόπους?
Μεταφέρω την απόδειξη που έχει στο σχολικό βιβλίο των Κολμογκόροβ, Σεμενοβιτσ, Τσερκάσοβ, "Γεωμετρία, σχολικό εγχειρίδιο για τις τάξεις 6-8 της μέσης εκπαίδευσης", γιατί διαφέρει ως προς το πνεύμα αποδείξεων σε άλλα σχολικά βιβλία (το θεώρημα παρουσιάζεται στα πλαίσια της ύλης της 7ης τάξης). Είναι από την παράγραφο 41 "Παραλληλόγραμμα".
Θεώρημα 51. Το μέσο της διαγωνίου ενός παραλληλογράμου αποτελεί το κέντρο συμμετρίας του.
Απόδειξη. Έστω το μέσο της διαγωνίου του παραλληλόγραμμου (βλ. σχήμα).
Υπό την συμμετρία με κέντρο το η ευθεία απεικονίζεται σε παράλληλη προς αυτήν ευθεία (πρόταση που έχει αποδειχθεί στην παράγραφο 31 νωρίτερα), που διέρχεται από το σημείο . Δηλαδή στην ευθεία (από τον ορισμό του παραλληλόγραμμου (*). Η ευθεία υπό αυτήν την συμμετρία απεικονίζεται στην ευθεία .
Συνεπώς, υπό την συμμετρία (**) τις εικόνες των ευθειών και τις αποτελούν οι ευθείες και αντίστοιχα. Το σημείο , είναι το σημείο τομής των ευθειών και . Επομένως η εικόνα του υπό την συμμετρία θα είναι το σημείο τομής των εικώνων των ευθειών και , δηλαδή το σημείο : . Άρα, τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο .
Έτσι, υπό την συμμετρία με κέντρο το οι κορυφές απεικονίζονται αντίστοιχα στις κορυφές :
.
Οπότε και το παραλληλόγραμμο υπό την συμμετρία απεικονίζεται στον εαυτό του, επομένως, το μέσο της διαγωνίου του παραλληλόγραμμου (το σημείο ) είναι το κέντρο συμμετρίας αυτού του παραλληλόγραμμου.
Πόρισμα 1. Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλόγραμμου είναι ίσες μεταξύ τους. (***)
Πόρισμα 2. Οι απέναντι γωνίες ενός παραλληλόγραμμου είναι ίσες μεταξύ τους.
Πόρισμα 3. Το άθροισμα των γωνιών προσκείμενων σε μια πλευρά ενός παραλληλόγραμου είναι ίσο με (δυο ορθές γωνίες).
Απόδειξη. (πρόταση 38 που έχει δειχθεί νωρίτερα). , (πόρισμα 2). Οπότε, . (****)
Πόρισμα 4. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλόγραμμου διχοτομούνται από το σημείο τομής τους.
Απόδειξη. Οι κορυφές και (καθώς και και ) είναι κεντρικά συμμετρικές ως προς το σημείο (βλ. δεύτερο σχήμα). Οπότε τα τμήματα και , και είναι ίσα. Δηλαδή το σημείο διχοτομεί τις διαγωνίους και .
Το πόρισμα 4 είναι το ζητούμενο στα πλαίσια της παρούσας συζήτησης.
(*) Με συμβολίζεται η ευθεία .
(**) Με συμβολίζεται η συμμετρία με κέντρο .
(***) Ίσα τμήματα εννοούνται εδώ με την έννοια του .
(****) Με συμβολίζεται το μέτρο της γωνίας .
Θεώρημα 51. Το μέσο της διαγωνίου ενός παραλληλογράμου αποτελεί το κέντρο συμμετρίας του.
Απόδειξη. Έστω το μέσο της διαγωνίου του παραλληλόγραμμου (βλ. σχήμα).
Υπό την συμμετρία με κέντρο το η ευθεία απεικονίζεται σε παράλληλη προς αυτήν ευθεία (πρόταση που έχει αποδειχθεί στην παράγραφο 31 νωρίτερα), που διέρχεται από το σημείο . Δηλαδή στην ευθεία (από τον ορισμό του παραλληλόγραμμου (*). Η ευθεία υπό αυτήν την συμμετρία απεικονίζεται στην ευθεία .
Συνεπώς, υπό την συμμετρία (**) τις εικόνες των ευθειών και τις αποτελούν οι ευθείες και αντίστοιχα. Το σημείο , είναι το σημείο τομής των ευθειών και . Επομένως η εικόνα του υπό την συμμετρία θα είναι το σημείο τομής των εικώνων των ευθειών και , δηλαδή το σημείο : . Άρα, τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο .
Έτσι, υπό την συμμετρία με κέντρο το οι κορυφές απεικονίζονται αντίστοιχα στις κορυφές :
.
Οπότε και το παραλληλόγραμμο υπό την συμμετρία απεικονίζεται στον εαυτό του, επομένως, το μέσο της διαγωνίου του παραλληλόγραμμου (το σημείο ) είναι το κέντρο συμμετρίας αυτού του παραλληλόγραμμου.
Πόρισμα 1. Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλόγραμμου είναι ίσες μεταξύ τους. (***)
Πόρισμα 2. Οι απέναντι γωνίες ενός παραλληλόγραμμου είναι ίσες μεταξύ τους.
Πόρισμα 3. Το άθροισμα των γωνιών προσκείμενων σε μια πλευρά ενός παραλληλόγραμου είναι ίσο με (δυο ορθές γωνίες).
Απόδειξη. (πρόταση 38 που έχει δειχθεί νωρίτερα). , (πόρισμα 2). Οπότε, . (****)
Πόρισμα 4. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλόγραμμου διχοτομούνται από το σημείο τομής τους.
Απόδειξη. Οι κορυφές και (καθώς και και ) είναι κεντρικά συμμετρικές ως προς το σημείο (βλ. δεύτερο σχήμα). Οπότε τα τμήματα και , και είναι ίσα. Δηλαδή το σημείο διχοτομεί τις διαγωνίους και .
Το πόρισμα 4 είναι το ζητούμενο στα πλαίσια της παρούσας συζήτησης.
(*) Με συμβολίζεται η ευθεία .
(**) Με συμβολίζεται η συμμετρία με κέντρο .
(***) Ίσα τμήματα εννοούνται εδώ με την έννοια του .
(****) Με συμβολίζεται το μέτρο της γωνίας .
Re: Με πόσους τρόπους?
Σημείωση: Αν και τα παραπάνω φαίνονται εξεζητημένα σε σχέση με την "κλασσική" απόδειξη της #1, το θεώρημα των ημιτόνων τριγώνου βασίζεται για την απόδειξή του στην ισότητα εγγεγραμμένων γωνιών στο αυτό τόξο (όχι δηλαδή σε ιδιότητες του παραλληλογράμμου, δεν γίνεται πρωθύστερο).
Κώστας Καλαϊτζόγλου
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Re: Με πόσους τρόπους?
Όπως και το περίμενα, πολύ όμορφες απαντήσεις και πολυφωνία! Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόλησή σας με το θέμα!
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
Re: Με πόσους τρόπους?
Ας παίξουμε και τον ρόλο του "συνηγόρου του διαβόλου" . Μπορούμε , ας πούμε , να χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξη ,
το βαρύκεντρο ; Νομίζω ότι οι αποδείξεις για τις ιδιότητες του βαρυκέντρου , χρησιμοποιούν τις ιδιότητες του σημείου
τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου . Ευκαιρία να δώσουμε κι άλλες αποδείξεις για το βαρύκεντρο
το βαρύκεντρο ; Νομίζω ότι οι αποδείξεις για τις ιδιότητες του βαρυκέντρου , χρησιμοποιούν τις ιδιότητες του σημείου
τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου . Ευκαιρία να δώσουμε κι άλλες αποδείξεις για το βαρύκεντρο
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Με πόσους τρόπους?
Καλό βράδυ σε όλους! Παραλλαγή του σχολικού τρόπου Το είναι το μέσον της . Θα δείξουμε ότι και τα συνευθειακάLymperis Karras έγραψε: ↑Δευ Απρ 05, 2021 9:09 amΜε πόσους τρόπους μπορεί να αποδείξει κανείς ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται?
Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.
Τα τρίγωνα είναι ίσα (ΠΓΠ) , οπότε και .
Έχουμε δηλ συνευθειακά .. Φιλικά, Γιώργος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Με πόσους τρόπους?
Χαιρετώ και πάλι. Επειδή η ως άνω απόδειξη είναι στην ουσία ίδια με του Γιώργου (ανάρτηση #3 )
μια ακόμη προσπάθεια με χρήση του σχήματος Το είναι παραληλλόγραμμο αφού και το το μέσον της .
Στο τρίγωνο το (συνδέει τα μέσα των πλευρών) , όπως και στο έχουμε .
Άρα και βεβαίως τα συνευθειακά αφού . Φιλικά, Γιώργος.
μια ακόμη προσπάθεια με χρήση του σχήματος Το είναι παραληλλόγραμμο αφού και το το μέσον της .
Στο τρίγωνο το (συνδέει τα μέσα των πλευρών) , όπως και στο έχουμε .
Άρα και βεβαίως τα συνευθειακά αφού . Φιλικά, Γιώργος.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Με πόσους τρόπους?
Καλημέρα,Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Απρ 05, 2021 12:55 pmΚαλημέρα σε όλους.
(*) Μια σχετική συζήτηση ΕΔΩ, στην οποίαν έγινε αναφορά σε παλιά σχολικά βιβλία και σε αξιώματα της Γεωμετρίας.
edit: Δεν έδωσα απάντηση στο ερώτημα του Λυμπέρη. Απλώς, θέλησα να συνδυάσω το θέμα με το, ας το πούμε, σχετικό θέμα της παραπομπής.
Με την πρώτη ευκαιρία θα ανατρέξω σε παλαιότερα (ελληνικά) βιβλία για τις αποδείξεις που έχουν δοθεί.
Για μένα δεν είναι, ας το πούμε, αλλά ακριβώς η αφορμή για την οποία άνοιξα την συζήτηση στην παραπομπή. Αν παρατηρήσουμε θα δούμε ότι κάποιες από τις αποδείξεις που δοθηκαν στην παρούσα δημοσίευση δεν χρησιμοποιούν το γεγονός ότι οι διαγώνιοι τέμνονται σε εσωτερικό σημείο του παραλληλόγραμμου, ούτε και ότι τέμνονται γενικά, ως δεδομένο.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Με πόσους τρόπους?
Έστω και τα μέσα των αντίστοιχα. Από νόμο συνημιτόνων έχω:
Αλλά από το θεώρημα του είναι Άρα προκύπτει ότι
δηλαδή τα συμπίπτουν με το σημείο τομής των διαγωνίων.
Αλλά από το θεώρημα του είναι Άρα προκύπτει ότι
δηλαδή τα συμπίπτουν με το σημείο τομής των διαγωνίων.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες