Με πόσους τρόπους?

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Με πόσους τρόπους?

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Δευ Απρ 05, 2021 9:09 am

Με πόσους τρόπους μπορεί να αποδείξει κανείς ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται?


Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10349
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με πόσους τρόπους?

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 05, 2021 9:57 am

Ξεκινάω με τον κλασικό τρόπο.
How many ways...png
How many ways...png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές
Τα τρίγωνα AOB, COD είναι ίσα γιατί AB=CD και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ των

παραλλήλων AB, CD που τέμνονται από την BD, ομοίως και οι πράσινες. Άρα AO=OC και BO=OD.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10349
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με πόσους τρόπους?

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 05, 2021 10:22 am

Άλλη μία.
How many ways.b..png
How many ways.b..png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
Έστω O το σημείο τομής των διαγωνίων και M το μέσο της AC. Έχουμε AM=MC, AD=BC και τις κόκκινες γωνίες

ίσες ως εντός εναλλάξ. Άρα τα τρίγωνα ADM, BCM είναι ίσα, οπότε D\widehat MA=B\widehat MC κι επειδή τα σημεία A, M, C

είναι συνευθειακά και τα B, M, D θα είναι συνευθειακά. Επομένως το M ταυτίζεται με το O και το ζητούμενο έπεται.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2023
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Με πόσους τρόπους?

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 05, 2021 11:05 am

Lymperis Karras έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 9:09 am
Με πόσους τρόπους μπορεί να αποδείξει κανείς ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται?


Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.
Με CE//DB \Rightarrow DCEB παραλ/μμο άρα BE=BA και CE=2OB οπότε

 \dfrac{CG}{GB} =2 \Rightarrow G κ.βάρους του τριγώνου ACE \Rightarrow AO=OC
3.png
3.png (10.91 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10349
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με πόσους τρόπους?

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 05, 2021 12:03 pm

Ο κλασικός τρόπος συγκαλυμμένος.
How many ways.c..png
How many ways.c..png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
Τα τρίγωνα OAD, OCB είναι προφανώς όμοια. Άρα, \displaystyle \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = 1, κλπ.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2054
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Με πόσους τρόπους?

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Απρ 05, 2021 12:39 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 9:09 am
Με πόσους τρόπους μπορεί να αποδείξει κανείς ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται?


Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.

Εστω OK//AD,AO=OC τότε στο τρίγωνο ADC,OK=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2},DK=KC,

Οπότε στο τρίγωνο DCB
KO//BC,DK=KC\Rightarrow DO=OB
Συνημμένα
Mε πόσους τρόπους.png
Mε πόσους τρόπους.png (40.69 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8599
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Με πόσους τρόπους?

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 05, 2021 12:42 pm

Ας το δούμε και με διανύσματα:

Έστω M το μέσο του AC. Τότε

\displaystyle \begin{aligned} 
\overrightarrow{DM} &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} \\ 
&= \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \\ 
&= \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\right) \\ 
&= \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{DA}\right) \\ 
&= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DA}\right) \\ 
&= \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} 
\end{aligned}

Δηλαδή το M είναι επίσης το μέσο και του BD.


Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Με πόσους τρόπους?

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Δευ Απρ 05, 2021 12:49 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 12:42 pm
Ας το δούμε και με διανύσματα:

Έστω M το μέσο του AC. Τότε

\displaystyle \begin{aligned} 
\overrightarrow{DM} &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} \\ 
&= \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \\ 
&= \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\right) \\ 
&= \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{DA}\right) \\ 
&= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DA}\right) \\ 
&= \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} 
\end{aligned}

Δηλαδή το M είναι επίσης το μέσο και του BD.
Αυτή τη λύση είχα κι εγώ στο μυαλό μου. Με προλάβατε :oops: :D


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4848
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Με πόσους τρόπους?

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Απρ 05, 2021 12:55 pm

Καλημέρα σε όλους.

(*) Μια σχετική συζήτηση ΕΔΩ, στην οποίαν έγινε αναφορά σε παλιά σχολικά βιβλία και σε αξιώματα της Γεωμετρίας.

edit: Δεν έδωσα απάντηση στο ερώτημα του Λυμπέρη. Απλώς, θέλησα να συνδυάσω το θέμα με το, ας το πούμε, σχετικό θέμα της παραπομπής.
Με την πρώτη ευκαιρία θα ανατρέξω σε παλαιότερα (ελληνικά) βιβλία για τις αποδείξεις που έχουν δοθεί.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Απρ 05, 2021 7:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10349
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με πόσους τρόπους?

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 05, 2021 1:09 pm

Έστω M το μέσο του BC.
How many ways.d..png
How many ways.d..png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές
Η AM είναι διάμεσος του ABC και \displaystyle \frac{{AG}}{{GM}} = \frac{{AD}}{{BM}} = 2, άρα το G είναι βαρύκεντρο του τριγώνου

και το O μέσο του AC. Ομοίως αποδεικνύεται ότι είναι μέσο και της άλλης διαγωνίου.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10349
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με πόσους τρόπους?

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 05, 2021 1:39 pm

Έστω παραλληλόγραμμο ABCD με τις συντεταγμένες των κορυφών όπως φαίνονται στο σχήμα και K(x,y) το σημείο τομής των διαγωνίων.
How many ways.e..png
How many ways.e..png (11.41 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
AC:y = \dfrac{b}{c}x\\ 
\\ 
BD:y = \dfrac{b}{{c - 2a}}(x - a) 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{K\left( {\frac{c}{2},\frac{b}{2}} \right)} που είναι φανερά μέσο των AC, BD.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Με πόσους τρόπους?

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Απρ 05, 2021 2:09 pm

Ακόμα μία

\displaystyle{ 
(ADC)=(DBA) \rightarrow E_1+E_2 = E_2+E_3 \rightarrow E_1=E_3  \rightarrow EO=OF 
}

άρα με Θαλή

\displaystyle{ 
{DO \over OB} = {AO \over OC} = {EO \over OF} 
}
Συνημμένα
paral27_1 (2).png
paral27_1 (2).png (26.15 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1329
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με πόσους τρόπους?

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Απρ 05, 2021 2:34 pm

Μεταφέρω την απόδειξη που έχει στο σχολικό βιβλίο των Κολμογκόροβ, Σεμενοβιτσ, Τσερκάσοβ, "Γεωμετρία, σχολικό εγχειρίδιο για τις τάξεις 6-8 της μέσης εκπαίδευσης", γιατί διαφέρει ως προς το πνεύμα αποδείξεων σε άλλα σχολικά βιβλία (το θεώρημα παρουσιάζεται στα πλαίσια της ύλης της 7ης τάξης). Είναι από την παράγραφο 41 "Παραλληλόγραμμα".

Θεώρημα 51. Το μέσο της διαγωνίου ενός παραλληλογράμου αποτελεί το κέντρο συμμετρίας του.

Απόδειξη. Έστω O το μέσο της διαγωνίου του παραλληλόγραμμου ABCD (βλ. σχήμα).

Υπό την συμμετρία με κέντρο το O η ευθεία ΑΒ απεικονίζεται σε παράλληλη προς αυτήν ευθεία (πρόταση που έχει αποδειχθεί στην παράγραφο 31 νωρίτερα), που διέρχεται από το σημείο C. Δηλαδή στην ευθεία CD (από τον ορισμό του παραλληλόγραμμου (AB) || (CD) (*). Η ευθεία CB υπό αυτήν την συμμετρία απεικονίζεται στην ευθεία AD.

Συνεπώς, υπό την συμμετρία Z_{O} (**) τις εικόνες των ευθειών AB και AB τις αποτελούν οι ευθείες CD και AD αντίστοιχα. Το σημείο B, είναι το σημείο τομής των ευθειών AB και CB. Επομένως η εικόνα του υπό την συμμετρία Z_{O} θα είναι το σημείο τομής των εικώνων των ευθειών AB και CB, δηλαδή το σημείο D: Z_{O}(B)=D. Άρα, τα σημεία B και D είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο O.

Έτσι, υπό την συμμετρία με κέντρο το O οι κορυφές A,B,C,D απεικονίζονται αντίστοιχα στις κορυφές C,D,A,B:

A \rightarrow C, \quad B \rightarrow D , \quad C \rightarrow  A, \quad D \rightarrow  B.

Οπότε και το παραλληλόγραμμο ABCD υπό την συμμετρία Z_{O} απεικονίζεται στον εαυτό του, επομένως, το μέσο της διαγωνίου του παραλληλόγραμμου (το σημείο O) είναι το κέντρο συμμετρίας αυτού του παραλληλόγραμμου. \blacksquare

Πόρισμα 1. Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλόγραμμου είναι ίσες μεταξύ τους. (***)

Πόρισμα 2. Οι απέναντι γωνίες ενός παραλληλόγραμμου είναι ίσες μεταξύ τους.

Πόρισμα 3. Το άθροισμα των γωνιών προσκείμενων σε μια πλευρά ενός παραλληλόγραμου είναι ίσο με 2d (δυο ορθές γωνίες).
Απόδειξη. \hat{A} + \hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=4d (πρόταση 38 που έχει δειχθεί νωρίτερα). \hat{A}=\hat{C}, \hat{B}=\hat{D} (πόρισμα 2). Οπότε, \hat{A}+\hat{B}=2d. \blacksquare (****)

Πόρισμα 4. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλόγραμμου διχοτομούνται από το σημείο τομής τους.
Απόδειξη. Οι κορυφές A και C (καθώς και B και D) είναι κεντρικά συμμετρικές ως προς το σημείο O (βλ. δεύτερο σχήμα). Οπότε τα τμήματα AO και CO, BO και DO είναι ίσα. Δηλαδή το σημείο O διχοτομεί τις διαγωνίους AC και BD. \blacksquare

Το πόρισμα 4 είναι το ζητούμενο στα πλαίσια της παρούσας συζήτησης.


(*) Με (AB) συμβολίζεται η ευθεία AB.
(**) Με Z_{O} συμβολίζεται η συμμετρία με κέντρο O.
(***) Ίσα τμήματα εννοούνται εδώ με την έννοια του congruent .
(****) Με \hat{A} συμβολίζεται το μέτρο της γωνίας A.

geogebra-export.png
geogebra-export.png (164.39 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
geogebra-export (1).png
geogebra-export (1).png (195.67 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές


kkala
Δημοσιεύσεις: 144
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Με πόσους τρόπους?

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Δευ Απρ 05, 2021 7:17 pm

parall1.png
parall1.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές
Η πρόταση μπορεί να αποδειχθεί και τριγωνομετρικά. Από τα τριγωνα DOC , AOB προκύπτει OD/sin\hat{OCD}=DC/sin\omega =AB/sin\omega=OB/sin\hat{OAB}, επομένως OD=OB (λόγω ίσων γωνιών \hat{OCD}, \hat{OAB}).
Σημείωση: Αν και τα παραπάνω φαίνονται εξεζητημένα σε σχέση με την "κλασσική" απόδειξη της #1, το θεώρημα των ημιτόνων τριγώνου βασίζεται για την απόδειξή του στην ισότητα εγγεγραμμένων γωνιών στο αυτό τόξο (όχι δηλαδή σε ιδιότητες του παραλληλογράμμου, δεν γίνεται πρωθύστερο).


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Με πόσους τρόπους?

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Δευ Απρ 05, 2021 7:22 pm

Όπως και το περίμενα, πολύ όμορφες απαντήσεις και πολυφωνία! Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόλησή σας με το θέμα! :clap2:


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12455
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Με πόσους τρόπους?

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 05, 2021 7:55 pm

Ας παίξουμε και τον ρόλο του "συνηγόρου του διαβόλου" . Μπορούμε , ας πούμε , να χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξη ,

το βαρύκεντρο ; Νομίζω ότι οι αποδείξεις για τις ιδιότητες του βαρυκέντρου , χρησιμοποιούν τις ιδιότητες του σημείου

τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου . Ευκαιρία να δώσουμε κι άλλες αποδείξεις για το βαρύκεντρο :P


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1407
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Με πόσους τρόπους?

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Απρ 05, 2021 9:43 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 9:09 am
Με πόσους τρόπους μπορεί να αποδείξει κανείς ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται?


Με εξέπληξε η πολυφωνία που μπορεί να προκύψει από το συγκεκριμένο ερώτημα, οπότε θα χαιρόμουνα πολύ να δω διαφορετικές απαντήσεις.
Το ξέρω πως μπορεί το θέμα να έχει τεθεί ξανά, αλλά νομίζω πως τα απλά αυτά ερωτήματα είναι συνεχώς επίκαιρα και διασκεδαστικά.
Καλό βράδυ σε όλους! Παραλλαγή του σχολικού τρόπου
5-4 ..διχοτομούνται(1).png
5-4 ..διχοτομούνται(1).png (80.06 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Το O είναι το μέσον της AC . Θα δείξουμε ότι OB=OD και τα B,O,D συνευθειακά

Τα τρίγωνα AOD,BOC είναι ίσα (ΠΓΠ) , οπότε OB=OD και \widehat{AOD}=\widehat{BOC}=\omega .

Έχουμε \omega + \theta =180^o δηλ B,O,D συνευθειακά .. Φιλικά, Γιώργος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1407
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Με πόσους τρόπους?

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Απρ 06, 2021 12:15 am

Χαιρετώ και πάλι. Επειδή η ως άνω απόδειξη είναι στην ουσία ίδια με του Γιώργου (ανάρτηση #3 )
μια ακόμη προσπάθεια με χρήση του σχήματος
(2)...διχοτομούνται.png
(2)...διχοτομούνται.png (89.16 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Το ASCE είναι παραληλλόγραμμο αφού AE= \parallel SC και το O το μέσον της AC.

Στο τρίγωνο ACE το  OD \parallel =EC/2 (συνδέει τα μέσα των πλευρών) , όπως και στο CAS έχουμε OB \parallel =AS/2.

Άρα OD=OB και βεβαίως τα B,O,D συνευθειακά αφού EC= \parallel AS . Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1329
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με πόσους τρόπους?

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Απρ 06, 2021 10:22 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 12:55 pm
Καλημέρα σε όλους.

(*) Μια σχετική συζήτηση ΕΔΩ, στην οποίαν έγινε αναφορά σε παλιά σχολικά βιβλία και σε αξιώματα της Γεωμετρίας.

edit: Δεν έδωσα απάντηση στο ερώτημα του Λυμπέρη. Απλώς, θέλησα να συνδυάσω το θέμα με το, ας το πούμε, σχετικό θέμα της παραπομπής.
Με την πρώτη ευκαιρία θα ανατρέξω σε παλαιότερα (ελληνικά) βιβλία για τις αποδείξεις που έχουν δοθεί.
Καλημέρα,

Για μένα δεν είναι, ας το πούμε, αλλά ακριβώς η αφορμή για την οποία άνοιξα την συζήτηση στην παραπομπή. Αν παρατηρήσουμε θα δούμε ότι κάποιες από τις αποδείξεις που δοθηκαν στην παρούσα δημοσίευση δεν χρησιμοποιούν το γεγονός ότι οι διαγώνιοι τέμνονται σε εσωτερικό σημείο του παραλληλόγραμμου, ούτε και ότι τέμνονται γενικά, ως δεδομένο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10349
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με πόσους τρόπους?

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 06, 2021 12:00 pm

Έστω AB=CD=a, BC=AD=b και M, N τα μέσα των AC, BD αντίστοιχα. Από νόμο συνημιτόνων έχω:
How many ways.6..png
How many ways.6..png (10.5 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
B{D^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos A\\ 
\\ 
A{C^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos B = {a^2} + {b^2} + 2ab\cos A\\ 
 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \oplus  \boxed{2a^2+2b^2=AC^2+BD^2}

Αλλά από το θεώρημα του \displaystyle {\rm{Euler}} είναι \displaystyle 2{a^2} + 2{b^2} = B{D^2} + A{C^2} + 4M{N^2}. Άρα προκύπτει ότι MN=0,

δηλαδή τα M, N συμπίπτουν με το σημείο τομής των διαγωνίων.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες