Σχεδόν Πυθαγόρειο

KARKAR · #1

: Σχεδόν Πυθαγόρειο.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται της υποτείνουσας

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

. Βρείτε το μήκος της

.

Lymperis Karras · #2

Καλησπέρα.
Καταρχάς, πολύ ωραία άσκηση. Ορίστε η απάντησή μου στο θέμα.
Από τα όμοια τρίγωνα BTO

,

έχουμε $\dfrac{2+R}{R}=\dfrac{6+BT}{6}\Leftrightarrow BT=\dfrac{12}{R}$
Από δύναμη σημείου στο

έχουμε $BT^{2}=2(2+2R)=4(R+1)$
Από τις δύο σχέσεις αυτές έχουμε: $(\dfrac{12}{R})^{2}=4(R+1)\Leftrightarrow R^{3}+R^{2}=36\Rightarrow R^{3}< 36\Rightarrow R\leq 3$
από όπου με δοκιμές προκύπτει ότι R=3

και

. Αφού

εφαπτομένες, CT=CA=6

. Τέλος,

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 31, 2021 1:53 pm
Σχεδόν Πυθαγόρειο.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου εφάπτεται της υποτείνουσας

του ορθογωνίου τριγώνου . Βρείτε το μήκος της .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

: Σχεδόν Π.Θ.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

$\displaystyle B{N^2} = {(x + 2)^2} - {x^2} \Leftrightarrow BN = 2\sqrt {x + 1} .$ Αλλά το AMNC

είναι εγγράψιμο, άρα:

$\displaystyle BN \cdot BC = BM \cdot BA \Leftrightarrow 2(x + 1) + 6\sqrt {x + 1} = (x + 1)(x + 2) \Leftrightarrow 6\sqrt {x + 1} = x(x + 1) \Leftrightarrow$

$\displaystyle 6 = x\sqrt {x + 1} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 36 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{HORNER} (x - 3)({x^2} + 4x + 12) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = 3$ και $\boxed{BC=10}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 31, 2021 1:53 pm
Σχεδόν Πυθαγόρειο.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου εφάπτεται της υποτείνουσας

του ορθογωνίου τριγώνου . Βρείτε το μήκος της .

Η εφαπτόμενη στο

τέμνει την

στο

κι έστω

Ισχύει, $\dfrac{2}{2R+2}= \dfrac{x}{6}= \dfrac{NP}{PA} = \dfrac{SN^2}{SA^2}= \dfrac{x^2}{R^2}$ απ όπου

$x^2= \dfrac{R^2}{R+1}= \dfrac{36}{(R+1)^2} \Rightarrow R^3+R^2-36=0$ με δεκτή ρίζα R=3

Τότε

άρα (Π.Θ)

: Σχεδόν Πυθαγόρειο.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Σχεδόν Πυθαγόρειο

Σχεδόν Πυθαγόρειο

Re: Σχεδόν Πυθαγόρειο

Re: Σχεδόν Πυθαγόρειο

Re: Σχεδόν Πυθαγόρειο

Μέλη σε σύνδεση