Σχεδόν Πυθαγόρειο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σχεδόν Πυθαγόρειο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 31, 2021 1:53 pm

Σχεδόν  Πυθαγόρειο.png
Σχεδόν Πυθαγόρειο.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Το ημικύκλιο διαμέτρου AS εφάπτεται της υποτείνουσας BC

του ορθογωνίου τριγώνου ABC . Βρείτε το μήκος της BC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 121
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Σχεδόν Πυθαγόρειο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Τετ Μαρ 31, 2021 3:38 pm

Καλησπέρα.
Καταρχάς, πολύ ωραία άσκηση. Ορίστε η απάντησή μου στο θέμα.
Από τα όμοια τρίγωνα BTO, ABC έχουμε \dfrac{2+R}{R}=\dfrac{6+BT}{6}\Leftrightarrow BT=\dfrac{12}{R}
Από δύναμη σημείου στο B έχουμε BT^{2}=2(2+2R)=4(R+1)
Από τις δύο σχέσεις αυτές έχουμε: (\dfrac{12}{R})^{2}=4(R+1)\Leftrightarrow R^{3}+R^{2}=36\Rightarrow R^{3}< 36\Rightarrow R\leq 3
από όπου με δοκιμές προκύπτει ότι R=3 και BT=4. Αφού CA, CT εφαπτομένες, CT=CA=6. Τέλος, BC=BT+CT=4+6=10.
Συνημμένα
Σχεδον Πυθαγορειο.png
Σχεδον Πυθαγορειο.png (11.56 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές
τελευταία επεξεργασία από Lymperis Karras σε Τετ Μαρ 31, 2021 7:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχεδόν Πυθαγόρειο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 31, 2021 5:50 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μαρ 31, 2021 1:53 pm
Σχεδόν Πυθαγόρειο.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου AS εφάπτεται της υποτείνουσας BC

του ορθογωνίου τριγώνου ABC . Βρείτε το μήκος της BC .
Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:
Σχεδόν Π.Θ.png
Σχεδόν Π.Θ.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές
\displaystyle B{N^2} = {(x + 2)^2} - {x^2} \Leftrightarrow BN = 2\sqrt {x + 1} . Αλλά το AMNC είναι εγγράψιμο, άρα:

\displaystyle BN \cdot BC = BM \cdot BA \Leftrightarrow 2(x + 1) + 6\sqrt {x + 1}  = (x + 1)(x + 2) \Leftrightarrow 6\sqrt {x + 1}  = x(x + 1) \Leftrightarrow

\displaystyle 6 = x\sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 36 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{HORNER} (x - 3)({x^2} + 4x + 12) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = 3 και \boxed{BC=10}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σχεδόν Πυθαγόρειο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μαρ 31, 2021 7:31 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μαρ 31, 2021 1:53 pm
Σχεδόν Πυθαγόρειο.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου AS εφάπτεται της υποτείνουσας BC

του ορθογωνίου τριγώνου ABC . Βρείτε το μήκος της BC .
Η εφαπτόμενη στο S τέμνει την AP στο N κι έστω SM=MP=MN=x

Ισχύει, \dfrac{2}{2R+2}= \dfrac{x}{6}=  \dfrac{NP}{PA} = \dfrac{SN^2}{SA^2}= \dfrac{x^2}{R^2}  απ όπου

 x^2= \dfrac{R^2}{R+1}= \dfrac{36}{(R+1)^2}  \Rightarrow R^3+R^2-36=0 με δεκτή ρίζα R=3

Τότε AB=8 άρα (Π.Θ) BC=10
Σχεδόν Πυθαγόρειο.png
Σχεδόν Πυθαγόρειο.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης