Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12521
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 21, 2021 9:10 pm

Ίσα  τμήματα  σε  άνισους  κύκλους.png
Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές
Ο κύκλος (K ,r) , έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O,R) και τον τέμνει στα σημεία A και D .

Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο A , τους ξανατέμνουν στα σημεία B , C , ενώ το τμήμα BC

τους ξανατέμνει στα σημεία S , T . α) Δείξτε ότι : AS=AT ... β) Υπολογίστε το AS .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2050
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 22, 2021 3:48 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 21, 2021 9:10 pm
Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους.pngΟ κύκλος (K ,r) , έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O,R) και τον τέμνει στα σημεία A και D .

Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο A , τους ξανατέμνουν στα σημεία B , C , ενώ το τμήμα BC

τους ξανατέμνει στα σημεία S , T . α) Δείξτε ότι : AS=AT ... β) Υπολογίστε το AS .
Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ως συμπληρώματα της γωνίας OAK άρα οι γωνίες AOB,AKC

είναι ίσες ,συνεπώς και τα μισά τους .Έτσι  \angle x= \angle y και όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες

Ακόμη  \triangle AOK \simeq  \triangle AST \Rightarrow  \dfrac{R}{AS}= \dfrac{r}{ST}   \Rightarrow ST= \dfrac{r}{R}A S

Όμοια από  
 \triangle NAK \simeq  \triangle AOK \Rightarrow NA= \dfrac{r^2}{R} κι από Π.Θ στο \triangle ANC \Rightarrow AC^2=4r^2- \dfrac{r^4}{R^2}

Επειδή KT \bot CS το T είναι μέσον της CS κι από το θ.διαμέσου

AS^2+AC^2=2AS^2+2ST^2  \Rightarrow 4r^2- \dfrac{r^4}{R^2} =AS^2+ \dfrac{2r^2}{R^2}AS^2 απ΄όπου AS=r \sqrt{ \dfrac{4R^2-r^2}{R^2+2r^2} }
Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους.png
Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους.png (24.31 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 22, 2021 7:56 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 21, 2021 9:10 pm
Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους.pngΟ κύκλος (K ,r) , έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O,R) και τον τέμνει στα σημεία A και D .

Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο A , τους ξανατέμνουν στα σημεία B , C , ενώ το τμήμα BC

τους ξανατέμνει στα σημεία S , T . α) Δείξτε ότι : AS=AT ... β) Υπολογίστε το AS .
α) \displaystyle B\widehat AK = 90^\circ, άρα η BK είναι διάμετρος του κύκλου (O). Λόγω των εφαπτομένων οι κόκκινες γωνίες είναι

ίσες με \omega και οι πράσινες ίσες με \varphi. Άρα, \displaystyle A\widehat ST = \omega  + \varphi  = A\widehat TS = A\widehat KB = \theta, απ' όπου AS=AT.
Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους.K.png
Ίσα τμήματα σε άνισους κύκλους.K.png (23.46 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
β) \displaystyle \cos \theta  = \frac{r}{{2R}} \Leftrightarrow \sin \theta  = \frac{{\sqrt {4{R^2} - {r^2}} }}{{2R}}

\displaystyle B\widehat AC + \theta  = 180^\circ  \Rightarrow \frac{{ST}}{{BC}} = \frac{{(AST)}}{{(ABC)}} = \frac{{AS \cdot ST}}{{AB \cdot AC}} \Leftrightarrow \boxed{AS = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}}} (1)

Με νόμο ημιτόνου στα ABT, ASC και συνημιτόνου στο ABC, έχω AB = 2R\sin \theta ,AC = 2r\sin \theta ,

BC = 2\sin \theta \sqrt {{R^2} + 2{r^2}} και αντικαθιστώντας στην (1), \boxed{AS = r\sqrt {\frac{{4{R^2} - {r^2}}}{{{R^2} + 2{r^2}}}} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες